Mostrar que os limites seguintes não existem:
lim substackx 0 y 0 2 xraizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite de duas variáveis
f(x,y)=2xraizx^2+y^2 quando (x,y)to(0,0) não existe. Isso cai em limite multivariável e vamos usar a ideia de avaliar em caminhos diferentes para ver se o valor muda.

Passo 2

Vamos analisar o caminho y=0. Nesse caso temos:
f(x,0)=2xraizx^2+0^2=2x|x|=2,sgn(x)
Quando xto0^+, f(x,0)to2. Quando xto0^-, f(x,0)to-2. Ou seja, ao longo de y=0 o limite depende do lado por onde x se aproxima de zero.

Passo 3

Como o limite ao longo de y=0 da direita é 2 e da esquerda é -2, já encontramos duas vias que dão resultados diferentes. Logo, o limite bilateral multivariável não pode existir.

Passo 4

Portanto, pelo critério de caminhos diferentes que levam a valores distintos, concluímos que o limite pedido não existe.

Resposta

O limite não existe.

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