Usando a Regra da Cadeia, resolva os seguintes problemas:
O comprimento
, a largura
e a altura
de uma caixa variam com o tempo. A certo instante as dimensões da caixa são
e
, onde
e
estão aumentando a uma taxa de 0,25
, ao passo que
está diminuindo à taxa de
. Nesse instante, determine as taxas nas quais o volume e a área da superfície estão variando.
O comprimento
Passo 1
O enunciado apresenta uma caixa com comprimento
, largura
e altura
que variam no tempo. No instante considerado temos
m,
m,
m, com
m/s,
m/s e
m/s. Precisamos determinar
e
usando a regra da cadeia.
Passo 2
Sabendo que o volume é dado por
aplicamos a derivada em relação ao tempo. Pela regra da cadeia no produto de três funções:
Passo 3
Substituindo os valores no momento dado:
Passo 4
A área de superfície da caixa é
Diferenciando em relação ao tempo e usando linearidade e regra do produto, obtemos:
e cada derivada
.
Passo 5
Calculando cada termo e substituindo as taxas do instante: