Usando a Regra da Cadeia, resolva os seguintes problemas:
O comprimento c, a largura / e a altura h de uma caixa variam com o tempo. A certo instante as dimensões da caixa são c=5 m, l=3 m e h=10 m, onde c e / estão aumentando a uma taxa de 0,25 m / s, ao passo que h está diminuindo à taxa de 0,5 m / s. Nesse instante, determine as taxas nas quais o volume e a área da superfície estão variando.

Passo 1

O enunciado apresenta uma caixa com comprimento c, largura l e altura h que variam no tempo. No instante considerado temos c=5 m, l=3 m, h=10 m, com dcdt=0,25 m/s, dldt=0,25 m/s e dhdt=-0,5 m/s. Precisamos determinar dVdt e dAdt usando a regra da cadeia.

Passo 2

Sabendo que o volume é dado por
V = c,l,h
aplicamos a derivada em relação ao tempo. Pela regra da cadeia no produto de três funções:
dVdt = l,h,dcdt + c,h,dldt + c,l,dhdt

Passo 3

Substituindo os valores no momento dado:
dVdt = 3cdot10cdot0.25 + 5cdot10cdot0.25 + 5cdot3cdot(-0.5) = 7.5 + 12.5 - 7.5 = 12.5 m^3/s

Passo 4

A área de superfície da caixa é
A = 2l(c,l + c,h + l,hr)
Diferenciando em relação ao tempo e usando linearidade e regra do produto, obtemos:
dAdt = 2l(ddt(c,l) + ddt(c,h) + ddt(l,h)r)
e cada derivada ddt(u,v) = u,dvdt + v,dudt.

Passo 5

Calculando cada termo e substituindo as taxas do instante:
dAdt = 2l(c,dldt + l,dcdt + c,dhdt + h,dcdt + l,dhdt + h,dldtr)
dAdt = 2l(5cdot0.25 + 3cdot0.25 + 5cdot(-0.5) + 10cdot0.25 + 3cdot(-0.5) + 10cdot0.25r) = 2cdot3 = 6 m^2/s

Resposta

dVdt = 12.5 m^3/s, dAdt = 6 m^2/s

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