Sendo dado que
, determine
. Qual é o valor de
?
Passo 1
O exercício pede para calcular duas transformadas de Laplace: primeiro de
e depois de
. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e a função Gama para resolver.
Passo 2
A definição de transformada de Laplace é
Também usamos a função Gama,
o que nos ajuda a avaliar integrais do tipo
.
Passo 3
Para
fazemos a mudança de variável
, ou seja
e
. Assim,
Como
, vem
Passo 4
Para
usamos que multiplicar por
equivale a trocar
por
na transformada de
. Ou calculamos diretamente:
E como
, concluímos
$$\mathcal{L}{t^{-1/2}}(s)=\frac{\sqrt\pi}{\sqrt{s}},\qquad
\mathcal{L}{e{-t}t{5/2}}(s)=\frac{15\sqrt\pi}{8,(s+1)^{7/2}}.$$