Sendo dado que integral0^infty e^-x^2 d x=raizpi2, determine Lt^-12. Qual é o valor de Le^-t t^52 ?

Passo 1

O exercício pede para calcular duas transformadas de Laplace: primeiro de t^-1/2 e depois de e^-tt^5/2. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e a função Gama para resolver.

Passo 2

A definição de transformada de Laplace é
Lf(t)(s)=integral0^infty e^-stf(t),dt
Também usamos a função Gama,
Gamma(alpha)=integral0^infty e^-uu^alpha-1,du,
o que nos ajuda a avaliar integrais do tipo integral0^infty e^-uu^alpha-1du.

Passo 3

Para Lt^-1/2 fazemos a mudança de variável u=s t, ou seja t=u/s e dt=du/s. Assim,
Como Lt^-1/2= integral0^infty e^-stt^-1/2dt =integral0^infty e^-ul(tfracusr)^-1/2dus =s^-1/2integral0^infty e^-uu^-1/2du =s^-1/2Gammal(tfrac12) , vem
Gamma(1/2)=raizpi

Passo 4

Para Le^-tt^5/2 usamos que multiplicar por e^-t equivale a trocar s por s+1 na transformada de t^5/2. Ou calculamos diretamente:
integral0^infty e^-ste^-tt^5/2dt =integral0^infty e^-(s+1)tt^5/2dt =Gamma(7/2)(s+1)^7/2
E como Gamma(7/2)=52cdot32cdot12raizpi=tfrac15raizpi8, concluímos
$$\mathcal{L}{t^{-1/2}}(s)=\frac{\sqrt\pi}{\sqrt{s}},\qquad
\mathcal{L}{e{-t}t{5/2}}(s)=\frac{15\sqrt\pi}{8,(s+1)^{7/2}}.$$

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