Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule: partial zpartial t, partial zpartial s e partial wpartial t, partial wpartial s e partial wpartial r.

Passo 1

O enunciado pede para usar a regra da cadeia em duas camadas: primeiro em z=f(x,y), onde x e y dependem de (t,s), e depois em w=f(x,y,z), onde x,y,z dependem de (t,s,r). O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar das derivadas parciais f_x, f_y (para z) e w_x, w_y, w_z (para w), além de x_t, x_s, x_r, y_t, y_s, y_r.

Passo 2

Para z=f(x(t,s),y(t,s)) a regra da cadeia diz que cada derivada parcial de z em relação a t ou s é dada pela soma dos produtos das derivadas de f pelas derivadas de x e y. Assim,

Passo 3

Para w=f(x,y,z), com x=x(t,s,r), y=y(t,s,r) e z=z(t,s), a regra da cadeia em três variáveis nos dá as derivadas parciais de w em relação a t, s e r somando os contribuições de x, y e z.

Resposta

As derivadas finais são:
partial zpartial t=fx(x,y)cdotpartial xpartial t+fy(x,y)cdotpartial ypartial t
partial zpartial s=fx(x,y)cdotpartial xpartial s+fy(x,y)cdotpartial ypartial s
partial wpartial t=wx(x,y,z)cdotpartial xpartial t+wy(x,y,z)cdotpartial ypartial t+wz(x,y,z)cdotpartial zpartial t
partial wpartial s=wx(x,y,z)cdotpartial xpartial s+wy(x,y,z)cdotpartial ypartial s+wz(x,y,z)cdotpartial zpartial s
partial wpartial r=wx(x,y,z)cdotpartial xpartial r+wy(x,y,z)cdotpartial ypartial r+wz(x,y,z)cdotpartial zpartial r

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