Usando a regra da cadeia para
e
, calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede para usar a regra da cadeia em duas camadas: primeiro em z=f(x,y), onde x e y dependem de (t,s), e depois em w=f(x,y,z), onde x,y,z dependem de (t,s,r). O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar das derivadas parciais f_x, f_y (para z) e w_x, w_y, w_z (para w), além de x_t, x_s, x_r, y_t, y_s, y_r.
Passo 2
Para z=f(x(t,s),y(t,s)) a regra da cadeia diz que cada derivada parcial de z em relação a t ou s é dada pela soma dos produtos das derivadas de f pelas derivadas de x e y. Assim,
Passo 3
Para w=f(x,y,z), com x=x(t,s,r), y=y(t,s,r) e z=z(t,s), a regra da cadeia em três variáveis nos dá as derivadas parciais de w em relação a t, s e r somando os contribuições de x, y e z.
Resposta
As derivadas finais são: