Usando a regra da derivada do logarítimo, marque a alternativa correspondente a derivada da função: f(x) = ln (x⁴ + 1)
a - f’(x) = - 4x³
b - f’(x) = (x⁴ + 1)
c - f’(x) = 4x³
d - f’(x) = - 1 / (x⁴+1).4x-³
e - f’(x) = 1/ (x⁴+1).4x³​

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo usando a regra da derivada do logaritmo. Precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) = \ln(x^4 + 1) $ e identificar qual das alternativas fornecidas corresponde à derivada correta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra da derivada do logaritmo natural. Se temos uma função da forma $ f(x) = \ln(u(x)) $, a derivada dela é dada por:
f(x) = ln(u(x))
Onde $ u(x) $ é uma função diferenciável.

Passo 3

Identificamos $ u(x) $ na nossa função:
u(x)
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u(x) $, ou seja, $ u’(x) $.

Passo 4

Calculando a derivada de $ u(x) $:
u(x)
u'(x) = ddx(x^4) + ddx(1)
u'(x) = 4x^3 + 0

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da derivada do logaritmo que vimos no Passo 2:
f'(x) = u'(x)u(x) = 4x^3x^4 + 1

Resposta

A derivada correta da função $ f(x) = \ln(x^4 + 1) $ é:
f(x) = ln(x^4 + 1)
Portanto, a alternativa correta é a opção e.

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