Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando a Regra de L’Hôpital. O exercício pede para calcular:
A Regra de L’Hôpital é útil quando temos limites que resultam em formas indeterminadas, como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $. Vamos ver se esse é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ x = 1 $ na expressão para verificar se temos uma forma indeterminada:
No numerador:
No denominador:
Então, temos $ \frac{0}{0} $, que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que se tivermos um limite da forma $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Ou seja:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando a derivada do numerador:
Calculando a derivada do denominador:
Agora, substituímos essas derivadas no limite:
Passo 5
Vamos verificar novamente substituindo $ x = 1 $:
No novo numerador:
No novo denominador:
Continuamos com a forma $ \frac{0}{0} $. Então, precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 6
Aplicando a Regra de L’Hôpital novamente, calculamos as derivadas das novas funções:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Agora, o limite fica:
Passo 7
Substituindo $ x = 1 $ na expressão final:
Resposta
O limite é igual a
.