Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
lim x 1 1-x+ln xx^3-3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando a Regra de L’Hôpital. O exercício pede para calcular:
lim x 1 1 - x + ln xx^3 - 3x +2
A Regra de L’Hôpital é útil quando temos limites que resultam em formas indeterminadas, como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $. Vamos ver se esse é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ x = 1 $ na expressão para verificar se temos uma forma indeterminada:
No numerador:
x = 1
No denominador:
1 - 1 + ln(1) = 0 + 0 = 0
Então, temos $ \frac{0}{0} $, que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se tivermos um limite da forma $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Ou seja:
00
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando a derivada do numerador:
ddx(1 - x + ln x) = 0 - 1 + 1x = 1x - 1
Calculando a derivada do denominador:
ddx(x^3 - 3x +2) = 3x^2 - 3
Agora, substituímos essas derivadas no limite:
lim x 1 1x - 13x^2 - 3

Passo 5

Vamos verificar novamente substituindo $ x = 1 $:
No novo numerador:
x = 1
No novo denominador:
11 - 1 = 1 - 1 = 0
Continuamos com a forma $ \frac{0}{0} $. Então, precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 6

Aplicando a Regra de L’Hôpital novamente, calculamos as derivadas das novas funções:
Derivada do numerador 1x - 1:
ddx(1x - 1) = -1x^2 - 0 = -1x^2
Derivada do denominador 3x^2 - 3:
ddx(3x^2 - 3) = 6x
Agora, o limite fica:
lim x 1 -1x^2 6x = lim x 1 -1 6x^3

Passo 7

Substituindo $ x = 1 $ na expressão final:
x = 1

Resposta

O limite é igual a -16.

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