Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, usamos o conteúdo de Cálculo que envolve limites e a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar identificar se a Regra de L’Hôpital é aplicável e, em seguida, diferenciamos o numerador e o denominador.
Passo 2
Primeiro, substituímos
diretamente na expressão para verificar se temos uma forma indeterminada.
Como obtemos
, que é uma forma indeterminada, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que se
resulta em
ou
, então:
Passo 4
Vamos diferenciar o numerador e o denominador separadamente:
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Passo 6
Vamos verificar novamente substituindo
na nova expressão:
Ainda temos uma forma indeterminada, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 7
Diferenciamos novamente o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador
:
Passo 8
Aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente:
Passo 9
Agora, substituímos
na nova expressão:
Isso indica que o limite tende para infinito.
Resposta
O limite
é igual a
.