Usando a Regra de L Hôpital, calcule:
lim x 0^+ x^2x-sen x

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0^+ x^2x-sen x. Aqui, usamos o conteúdo de Cálculo que envolve limites e a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar identificar se a Regra de L’Hôpital é aplicável e, em seguida, diferenciamos o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, substituímos x = 0 diretamente na expressão para verificar se temos uma forma indeterminada.
0^20 - sen(0) = 00
Como obtemos 00, que é uma forma indeterminada, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se limx to c f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x), desde que este último limite exista.

Passo 4

Vamos diferenciar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador f(x) = x^2:
    f'(x) = 2x
  • Derivada do denominador g(x) = x - sen x:
    g'(x) = 1 - cos x

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
lim x 0^+ x^2x-sen x = lim x 0^+ 2x1 - cos x

Passo 6

Vamos verificar novamente substituindo x = 0 na nova expressão:
2 cdot 01 - cos(0) = 01 - 1 = 00
Ainda temos uma forma indeterminada, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 7

Diferenciamos novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador f'(x) = 2x:
    f''(x) = 2
  • Derivada do denominador g'(x) = 1 - cos x:
    g''(x) = sen x

Passo 8

Aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente:
lim x 0^+ 2x1 - cos x = lim x 0^+ 2sen x

Passo 9

Agora, substituímos x = 0 na nova expressão:
2sen(0) = 20
Isso indica que o limite tende para infinito.

Resposta

O limite lim x 0^+ x^2x-sen x é igual a +infty.

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