Usando a Regra de L Hospital, calcule:
lim x 0^+[cos 3 x]^1sen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
limx 0^+ [cos 3x]^1sin x
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso usando a Regra de L’Hospital, vamos precisar transformar essa expressão para facilitar a aplicação da regra.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para tornar o limite mais fácil de calcular. Quando temos uma expressão do tipo $ [f(x)]^{g(x)} $, uma boa estratégia é aplicar o logaritmo natural para trazer o expoente para frente:
[f(x)]^g(x)
Agora, nosso limite original pode ser reescrito usando a propriedade dos logaritmos:
ln([cos 3x]^1sin x) = ln(cos 3x)sin x

Passo 3

Agora, vamos focar em calcular o limite dentro da função exponencial:
limx 0^+ ln(cos 3x)sin x
Ao observarmos $ x $ se aproximando de 0, tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, resultando em uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador $ \ln(\cos 3x) $:
    Usando a regra da cadeia:
    ln(cos 3x)
  • Derivada do denominador $ \sin x $:
    ddx ln(cos 3x) = -3 sin 3xcos 3x = -3 tan 3x
Então, aplicando a Regra de L’Hospital, nosso limite fica:
sin x

Passo 5

Agora, vamos avaliar esse novo limite. Sabemos que, para $ x $ próximo de 0:
  • $ \tan 3x \approx 3x $ (porque $ \tan \theta \approx \theta $ quando $ \theta $ é pequeno)
  • $ \cos x \approx 1 $ (já que $ \cos 0 = 1 $ e a variação é mínima perto de 0)
Substituindo essas aproximações:
x
À medida que $ x $ se aproxima de 0, $ -9x $ também se aproxima de 0.

Resposta

Portanto,
limx 0^+ [cos 3x]^1sin x = e^0 = 1

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