Usando a Regra de L Hospital, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso usando a Regra de L’Hospital, vamos precisar transformar essa expressão para facilitar a aplicação da regra.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para tornar o limite mais fácil de calcular. Quando temos uma expressão do tipo $ [f(x)]^{g(x)} $, uma boa estratégia é aplicar o logaritmo natural para trazer o expoente para frente:
Agora, nosso limite original pode ser reescrito usando a propriedade dos logaritmos:
Passo 3
Agora, vamos focar em calcular o limite dentro da função exponencial:
Ao observarmos $ x $ se aproximando de 0, tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, resultando em uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador $ \ln(\cos 3x) $:Usando a regra da cadeia:
-
Derivada do denominador $ \sin x $:
Então, aplicando a Regra de L’Hospital, nosso limite fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar esse novo limite. Sabemos que, para $ x $ próximo de 0:
- $ \tan 3x \approx 3x $ (porque $ \tan \theta \approx \theta $ quando $ \theta $ é pequeno)
- $ \cos x \approx 1 $ (já que $ \cos 0 = 1 $ e a variação é mínima perto de 0)
Substituindo essas aproximações:
À medida que $ x $ se aproxima de 0, $ -9x $ também se aproxima de 0.
Resposta
Portanto,