Ache os pontos máximos, mínimos e sela da seguintes equações:
círculo:
Passo 1
O enunciado pede encontrar os extremos de no disco . O conteúdo envolvido é otimização de funções de duas variáveis com restrição: vamos precisar de derivadas parciais, Hessiano e método de multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Começamos pelos pontos críticos no interior do disco, onde não há restrição ativa. Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero, temos que dá e que dá . Esse ponto pertence ao disco.
Passo 3
Para classificar esse ponto, montamos o Hessiano e verificamos sua definitude. Avaliamos
Como os autovalores são positivos, o Hessiano é definido positivo, logo é um ponto de mínimo local.
Passo 4
Avaliamos o valor de nesse mínimo interior:
Passo 5
Agora analisamos o contorno pelo método de Lagrange. Definimos e impomos
Comparando todos os valores: o menor valor é -tfrac14 em (tfrac12,0), e o maior valor é tfrac94 nos pontos (-tfrac12,pmtfracraiz32). Não há pontos de sela no disco fechado.
Resposta
Mínimo global em (tfrac12,0) com valor -tfrac14; máximo global em (-tfrac12,pmtfracraiz32) com valor tfrac94. Não existem pontos de sela.