Ache os pontos máximos, mínimos e sela da seguintes equações:
f(x, y)=x^wed>= 2-x+2 y^wed>= 2
círculo: x^wed>= 2+y^wed>= 2<=1

Passo 1

O enunciado pede encontrar os extremos de f(x,y)=x^2 - x + 2y^2 no disco x^2+y^2<=1. O conteúdo envolvido é otimização de funções de duas variáveis com restrição: vamos precisar de derivadas parciais, Hessiano e método de multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Começamos pelos pontos críticos no interior do disco, onde não há restrição ativa. Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=2x-1, partial fpartial y=4y
Igualando a zero, temos 2x-1=0 que dá x=tfrac12 e 4y=0 que dá y=0. Esse ponto (tfrac12,0) pertence ao disco.

Passo 3

Para classificar esse ponto, montamos o Hessiano e verificamos sua definitude. Avaliamos
H=2 & 0[6pt]0 & 4
Como os autovalores são positivos, o Hessiano é definido positivo, logo (tfrac12,0) é um ponto de mínimo local.

Passo 4

Avaliamos o valor de f nesse mínimo interior:
fl(tfrac12,0r)=l(tfrac12r)^2-tfrac12+2cdot0^2=-tfrac14

Passo 5

Agora analisamos o contorno x^2+y^2=1 pelo método de Lagrange. Definimos g(x,y)=x^2+y^2-1 e impomos
$$\nabla f=\lambda\nabla g\quad\Longrightarrow\quad nabla f=lambdanabla gLongrightarrow 2x-1=2lambda x,[4pt]4y=2lambda y,[4pt]x^2+y^2=1
$$
Dessas equações surgem dois casos:
- Se y=0, então x=pm1.
- Se lambda=2, então x=-tfrac12 e y=pmtfracraiz32.

Passo 6

Calculamos f nesses pontos do contorno:
f(1,0)=1-1+0=0,
f(-1,0)=1+1+0=2,
fl(-tfrac12,pmtfracraiz32r)=tfrac14+tfrac12+2cdottfrac34=tfrac94

Passo 7

Comparando todos os valores: o menor valor é -tfrac14 em (tfrac12,0), e o maior valor é tfrac94 nos pontos (-tfrac12,pmtfracraiz32). Não há pontos de sela no disco fechado.

Resposta

Mínimo global em (tfrac12,0) com valor -tfrac14; máximo global em (-tfrac12,pmtfracraiz32) com valor tfrac94. Não existem pontos de sela.

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