contido (-infinito,infinito)
Ache a solução particular:
Ache a solução particular:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma solução particular da EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, vamos propor um polinômio de grau 2.
Passo 2
O método dos coeficientes indeterminados diz que, se o lado direito é um polinômio de grau 2 e as raízes da equação característica
não são 0, não precisamos multiplicar por nenhuma potência de
. Logo, escolhemos o ansatz
Passo 3
Para substituir na EDO, calculamos as derivadas do ansatz:
$$
y_p’ = 2Ax + B,$$
Passo 4
Substituindo na equação e agrupando termos semelhantes, temos:
que ao expandir se torna
Isso precisa ser igual a
.
Passo 5
Igualando coeficientes de
,
e termo constante, obtemos o sistema:
$$
-2A = 3,$$
$$
8A - 2B = -4,$$
Resolvendo, achamos:
Resposta
A solução particular é
$$y_p(x) = -\tfrac{3}{2}x^2 - 4x - \tfrac{21}{2}.
$$