y^prime prime+4 y^prime-2 y=3 x^wed>= 2-4 x+2, x contido (-infinito,infinito)
Ache a solução particular: A x^wed>= 2+B x+c

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular da EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''+4y'-2y = 3x^2 - 4x + 2,
usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, vamos propor um polinômio de grau 2.

Passo 2

O método dos coeficientes indeterminados diz que, se o lado direito é um polinômio de grau 2 e as raízes da equação característica
r^2 + 4r - 2 = 0
não são 0, não precisamos multiplicar por nenhuma potência de x. Logo, escolhemos o ansatz
yp = Ax^2 + Bx + C

Passo 3

Para substituir na EDO, calculamos as derivadas do ansatz:
$$
y_p’ = 2Ax + B,$$
yp' = 2Ax + B,

Passo 4

Substituindo na equação e agrupando termos semelhantes, temos:
yp'' + 4yp' - 2yp = 2A + 4(2Ax + B) - 2(Ax^2 + Bx + C)
que ao expandir se torna
-2A x^2 + (8A - 2B)x + (2A + 4B - 2C)
Isso precisa ser igual a 3x^2 - 4x + 2.

Passo 5

Igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, obtemos o sistema:
$$
-2A = 3,$$
$$
8A - 2B = -4,$$
-2A = 3,
Resolvendo, achamos:
8A - 2B = -4,

Resposta

A solução particular é
$$y_p(x) = -\tfrac{3}{2}x^2 - 4x - \tfrac{21}{2}.
$$

Exercícios relacionados