Usando a regra de L’Hospital, calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{sen} x}{3 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{3x^2}
usando a regra de L’Hospital, que se aplica a formas indeterminadas do tipo \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
o numerador fica 0 - \sin0 = 0 e o denominador fica 3\cdot0^2 = 0.
Logo, temos \tfrac{0}{0} e podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador em relação a x:
o numerador x-\sin x 1-\cos x e o denominador 3x^2 6x.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{3x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{6x}.

Passo 4

Ainda temos \tfrac{0}{0}, pois 1-\cos0=0 e 6\cdot0=0. Aplicamos L’Hospital de novo:
derivada de 1-\cos x é \sin x e de 6x é 6. Assim
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{6x} =\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6} =\frac{\sin0}{6} =0.

Resposta

0

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