Usando a Regra do Quociente, calcule a derivada das funções:
41. h(x)=x^3ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h(x)=x^3ln x usando a regra do quociente. O conteúdo envolve derivadas de funções elementares e aplicação da regra do quociente; para isso precisamos da derivada de x^3 e de ln x.

Passo 2

Identificamos a função do numerador u(x)=x^3 e do denominador v(x)=ln x. Portanto,
u'(x)=3x^2
e
v'(x)=1x

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
h'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =3x^2ln x - x^3cdot1x(ln x)^2

Passo 4

Simplificando o numerador:
3x^2ln x - x^3cdot1x =3x^2ln x - x^2 =x^2l(3ln x -1r)
Logo,
h'(x) =x^2(3ln x -1)(ln x)^2

Resposta

h'(x)=x^2(3ln x -1)(ln x)^2

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