Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
em todo
e, quando existir, calcular
. Vamos usar que é uma composição de funções e a regra da cadeia.
Passo 2
Escrevemos
de modo que
. Note que
está bem definida para todo
, pois raiz ímpar de número real é real.
Passo 3
Para
a derivada de
é
E a derivada de
é
Pela regra da cadeia, para todo
tal que
temos
Passo 4
Verificamos agora o ponto crítico onde
, ou seja
Nesse ponto o fator
diverge, o que faz a derivada explodir (tender a infinito) e, portanto,
não é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em
e, para todo
,