Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
f(x)=raiz[5]2 x^3+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
f(x)=raiz[5]2x^3+1
em todo xinR e, quando existir, calcular f'(x). Vamos usar que é uma composição de funções e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos
u(x)=2x^3+1, g(u)=u^1/5,
de modo que f(x)=gl(u(x)r). Note que gcolonRtoR está bem definida para todo uinR, pois raiz ímpar de número real é real.

Passo 3

Para uneq0 a derivada de g é
g'(u)=15,u^-4/5
E a derivada de u(x) é
u'(x)=6x^2
Pela regra da cadeia, para todo x tal que u(x)neq0 temos
f'(x) =g'l(u(x)r)cdot u'(x) =15,(2x^3+1)^-4/5cdot 6x^2 =6x^25,(2x^3+1)^4/5

Passo 4

Verificamos agora o ponto crítico onde u(x)=0, ou seja
2x^3+1=0 Longrightarrow x0=-raiz[3]tfrac12
Nesse ponto o fator (2x^3+1)^-4/5 diverge, o que faz a derivada explodir (tender a infinito) e, portanto, f não é diferenciável em x0.

Resposta

A função f é diferenciável em Rsetminusl-raiz[3]tfrac12r e, para todo xneq -raiz[3]tfrac12,
f'(x)=6x^25,(2x^3+1)^4/5

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