Usando a Regra do Quociente, calcule a derivada das funções:
44. h(x)=e^xln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=e^xln x
usando a Regra do Quociente. O conteúdo aqui é saber que, para
h(x)=f(x)g(x),
vale
h'(x)=f'(x),g(x)-f(x),g'(x)l(g(x)r)^2
Vamos identificar f e g, calcular suas derivadas e aplicar essa fórmula.

Passo 2

Definimos
f(x)=e^x, g(x)=ln x
As derivadas conhecidas são
f'(x)=e^x, g'(x)=1x

Passo 3

Aplicando a Regra do Quociente:
h'(x) = f'(x),g(x)-f(x),g'(x)l(g(x)r)^2

Passo 4

Substituindo f, f', g e g' na fórmula:
h'(x) = e^x,ln x - e^x,1x(ln x)^2

Passo 5

Colocando e^x em evidência no numerador:
h'(x) = e^xl(ln x - 1xr)(ln x)^2

Resposta

h'(x) = e^xl(ln x - 1xr)(ln x)^2

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