Usando a Regra do Quociente, calcule a derivada das funções:
50. h(x)=sin xln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x) = sin xln x
usando a Regra do Quociente. Aqui nosso conteúdo é derivação de quociente de duas funções e vamos precisar também das derivadas de sin x e de ln x. Note que h está definida para x>0.

Passo 2

Definimos
u(x)=sin x, v(x)=ln x
Então
u'(x)=cos x,
pois a derivada de sin x é cos x, e
v'(x)=1x,
pois a derivada de ln x é 1/x.

Passo 3

A Regra do Quociente diz
gl(uvgr)' = u',v - u,v'v^2
Aplicando a u e v acima, obtemos
h'(x) = cos x;ln x - sin x;l(tfrac1xr)(ln x)^2

Passo 4

Para simplificar, podemos juntar termos sobre um mesmo denominador:
h'(x) = xcos x,ln x - sin xx(ln x)^2 = xcos x,ln x - sin xx,(ln x)^2

Passo 5

Concluímos que a derivada de h para x>0 é
h'(x) = xcos x,ln x - sin xx,(ln x)^2

Resposta

h'(x) = xcos x,ln x - sin xx,(ln x)^2

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