Determine se cada uma das funções abaixo é diferenciável no ponto x0=0.
f(x)=llg(x) sen(1x), & se x neq 0 0, & se x=0, onde g(0)=g^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= g(x),sinl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0,
com as condições ,g(0)=0 e ,g'(0)=0.
Queremos verificar se f é diferenciável em x0=0, usando a definição de derivada em zero.

Passo 2

Pela definição,
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x =limxto0f(x)x
pois f(0)=0. Para xneq0, f(x)=g(x)sin(1/x), então
f(x)x =g(x)x,sin!l(tfrac1xr)

Passo 3

Como g é diferenciável em 0 com g(0)=0 e g'(0)=0, vale
limxto0g(x)-g(0)x=g'(0)=0 Longrightarrow limxto0g(x)x=0
Logo, definindo h(x)=g(x)x, temos limxto0h(x)=0.

Passo 4

Como sin(1/x) é sempre limitado em [-1,1], o produto
h(x),sin!l(tfrac1xr)
tende a 0 quando xto0. Portanto
f'(0) =limxto0h(x),sin!l(tfrac1xr) =0,
existindo a derivada em 0.

Resposta

A função f é diferenciável em x0=0 e
f'(0)=0

Exercícios relacionados