Determine se cada uma das funções abaixo é diferenciável no ponto
.
, onde
g(0)=g^prime(0)=0
Passo 1
O enunciado define a função
com as condições
,g(0)=0 e
,g'(0)=0 .
Queremos verificar sef é diferenciável em
x0=0 , usando a definição de derivada em zero.
Queremos verificar se
Passo 2
Pela definição,
pois
f(0)=0 . Para
xneq0 ,
f(x)=g(x)sin(1/x) , então
Passo 3
Como
g é diferenciável em
0 com
g(0)=0 e
g'(0)=0 , vale
Logo, definindo
h(x)=g(x)x , temos
limxto0h(x)=0 .
Passo 4
Como
sin(1/x) é sempre limitado em
[-1,1] , o produto
tende a
0 quando
xto0 . Portanto
existindo a derivada em
0 .
Resposta
A função
f é diferenciável em
x0=0 e