Usando a regra do quociente e do produto, ache dydx|x=1 e d^2ydx^2.
y=(x^-5+1)4 x+1

Passo 1

O enunciado dá
y = x^-5 + 14x + 1
e pede a derivada primeira avaliada em x=1 e a derivada segunda geral. Vamos usar a regra do quociente para obter y' e depois a regra do produto (ou quociente novamente) para achar y''.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em
y = uv, u = x^-5+1,;v=4x+1,
temos
u' = -5x^-6, v'=4,
y' = u'v - uv'v^2 = -5x^-6(4x+1) - (x^-5+1),4(4x+1)^2
Colocando num denominador comum em x^6, simplifica-se para
y' = -4x^6 + 24x + 5x^6,(4x+1)^2

Passo 3

Para encontrar dydxvertx=1, basta substituir x=1 em
y' = -4x^6 + 24x + 5x^6,(4x+1)^2 ;Longrightarrow; y'vertx=1 = -4cdot1^6 + 24cdot1 + 51^6,(4cdot1 + 1)^2 = -4 + 24 + 55^2 = -3325

Passo 4

Para y'', escrevemos
y' = -l(4x^6+24x+5r),x^-6,(4x+1)^-2
e usamos a regra do produto de três fatores. Chamando
w = -(4x^6+24x+5), a=x^-6, b=(4x+1)^-2,
temos
w' = -l(24x^5+24r), a' = -6x^-7, b' = -2,(4x+1)^-3cdot4 = -8,(4x+1)^-3
Logo
y'' = w'a,b + w,a',b + w,a,b'

Passo 5

Reunindo tudo sobre o mesmo denominador x^7(4x+1)^3 e simplificando, chega-se a
y'' = 128x^7 -72x^6 -24x^5 +768x^2 +208x +6 x^7,(4x+1)^3

Resposta

dydxvertx=1 = -3325
d^2ydx^2 = 128x^7 -72x^6 -24x^5 +768x^2 +208x +6 x^7,(4x+1)^3

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