Dados disponíveis (retomando): os elementos de A e B conforme escritos acima. Objetivo: decidir invertibilidade e, quando possível, encontrar A^{-1} e B^{-1}.]
Passo 2
Critério de invertibilidade e método para 2\times2.
Fato importante: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Para matrizes 2\times2 a fórmula do determinante é simples: para \displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} tem-se
\det = ad-bc.
Fórmula prática para a inversa de uma matriz 2\times2 (quando \det\neq0): para \displaystyle M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
As demais entradas podem ser conferidas de modo semelhante e dão a identidade I_2. Portanto a inversa está correta.]
Passo 4
Estratégia para B (matriz 3\times3 triangular inferior).
Observação importante: B é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Isso é muito prático: não precisa desenvolver pelo método de Sarrus ou cofactores.
Então \det(B)=1\cdot2\cdot1=2. Como \det(B)=2\neq0, B é invertível.
Para encontrar B^{-1} uso o método padrão: resolver B X = I. Interpretando as colunas, cada coluna de X é a solução do sistema B x = e_i, onde e_i é o i-ésimo vetor coluna da base canônica. Como B é triangular inferior, esses sistemas resolvem-se por substituição direta (forward substitution), o que é muito simples passo a passo.
Vou escrever X=B^{-1} e assumir a forma triangular inferior (sabendo que o inverso de uma triangular inferior é também triangular inferior). Então suponho
B^{-1}=\begin{pmatrix}a & 0 & 0\\[4pt]b & c & 0\\[4pt]d & e & f\end{pmatrix},
com incógnitas a,b,c,d,e,f. Impor B B^{-1}=I_3 dá um sistema linear para essas incógnitas que se resolve linha a linha.]
Passo 5
Resolver B B^{-1}=I_3 por linhas (detalhado).
Primeira linha de B é (1,0,0). Multiplicando pela matriz B^{-1} obtemos a primeira linha de BB^{-1} igual à primeira linha de B^{-1}, que deve ser (1,0,0). Assim
(a,0,0)=(1,0,0)\quad\Rightarrow\quad a=1.
Segunda linha de B é (3,2,0). Multiplicando por B^{-1} obtemos:
entrada (2,1):
3\cdot a + 2\cdot b + 0\cdot d = 0 \quad\text{(pois \(I_{2,1}=0\))}.