Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis. Caso afirmativo, calcule suas inversas.
A=\left(\begin{array}{ll} 5 & 3 \\ 8 & 6 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ 6 & 4 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para cada matriz: verificar se é invertível e, se for, calcular sua inversa. As matrizes fornecidas são
A=\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt]8 & 6\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]3 & 2 & 0\\[4pt]6 & 4 & 1\end{pmatrix}.
Dados disponíveis (retomando): os elementos de A e B conforme escritos acima. Objetivo: decidir invertibilidade e, quando possível, encontrar A^{-1} e B^{-1}.]

Passo 2

Critério de invertibilidade e método para 2\times2.
  • Fato importante: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Para matrizes 2\times2 a fórmula do determinante é simples: para \displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} tem-se
\det = ad-bc.
  • Fórmula prática para a inversa de uma matriz 2\times2 (quando \det\neq0): para \displaystyle M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aqui \det(M)=ad-bc. Essa fórmula vem de resolver M X=I ou por manipulação algébrica direta.
Vou aplicar isso a A.

Passo 3

Cálculo do determinante de A e inversa.
Calculemos \det(A):
\det(A)=5\cdot6-3\cdot8=30-24=6.
Como \det(A)=6\neq0, A é invertível.
Aplicando a fórmula do inverso para 2\times2:
A^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}6 & -3\\[4pt]-8 & 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{6}{6} & \dfrac{-3}{6}\\[6pt]\dfrac{-8}{6} & \dfrac{5}{6}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{4}{3} & \dfrac{5}{6}\end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional mas útil): multiplicando A por A^{-1} devemos obter I.
Calculemos a entrada (1,1) de A A^{-1}:
5\cdot1 + 3\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=5-4=1.
A entrada (1,2):
5\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+3\cdot\dfrac{5}{6}=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{15}{6}=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}=0.
As demais entradas podem ser conferidas de modo semelhante e dão a identidade I_2. Portanto a inversa está correta.]

Passo 4

Estratégia para B (matriz 3\times3 triangular inferior).
  • Observação importante: B é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Isso é muito prático: não precisa desenvolver pelo método de Sarrus ou cofactores.
  • Então \det(B)=1\cdot2\cdot1=2. Como \det(B)=2\neq0, B é invertível.
  • Para encontrar B^{-1} uso o método padrão: resolver B X = I. Interpretando as colunas, cada coluna de X é a solução do sistema B x = e_i, onde e_i é o i-ésimo vetor coluna da base canônica. Como B é triangular inferior, esses sistemas resolvem-se por substituição direta (forward substitution), o que é muito simples passo a passo.
Vou escrever X=B^{-1} e assumir a forma triangular inferior (sabendo que o inverso de uma triangular inferior é também triangular inferior). Então suponho
B^{-1}=\begin{pmatrix}a & 0 & 0\\[4pt]b & c & 0\\[4pt]d & e & f\end{pmatrix},
com incógnitas a,b,c,d,e,f. Impor B B^{-1}=I_3 dá um sistema linear para essas incógnitas que se resolve linha a linha.]

Passo 5

Resolver B B^{-1}=I_3 por linhas (detalhado).
Primeira linha de B é (1,0,0). Multiplicando pela matriz B^{-1} obtemos a primeira linha de BB^{-1} igual à primeira linha de B^{-1}, que deve ser (1,0,0). Assim
(a,0,0)=(1,0,0)\quad\Rightarrow\quad a=1.
Segunda linha de B é (3,2,0). Multiplicando por B^{-1} obtemos:
  • entrada (2,1):
3\cdot a + 2\cdot b + 0\cdot d = 0 \quad\text{(pois \(I_{2,1}=0\))}.
Substituindo a=1:
3 + 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad 2b=-3 \quad\Rightarrow\quad b=-\dfrac{3}{2}.
  • entrada (2,2):
3\cdot 0 + 2\cdot c + 0\cdot e = 1 \quad\Rightarrow\quad 2c=1 \quad\Rightarrow\quad c=\dfrac{1}{2}.
  • entrada (2,3) dá identidade zero e é satisfeita automaticamente porque os termos são nulos.
Terceira linha de B é (6,4,1). Multiplicando por B^{-1}:
  • entrada (3,1):
6\cdot a + 4\cdot b + 1\cdot d = 0.
Substituindo a=1 e b=-\dfrac{3}{2}:
6 + 4\left(-\dfrac{3}{2}\right) + d = 0 \quad\Rightarrow\quad 6 -6 + d = 0 \quad\Rightarrow\quad d = 0.
  • entrada (3,2):
6\cdot 0 + 4\cdot c + 1\cdot e = 0.
Substituindo c=\dfrac{1}{2}:
4\cdot \dfrac{1}{2} + e = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 + e = 0 \quad\Rightarrow\quad e = -2.
  • entrada (3,3):
6\cdot 0 + 4\cdot 0 + 1\cdot f = 1 \quad\Rightarrow\quad f = 1.
Assim encontramos todas as incógnitas:
a=1,\quad b=-\dfrac{3}{2},\quad c=\dfrac{1}{2},\quad d=0,\quad e=-2,\quad f=1.
Portanto
B^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida de B B^{-1}=I_3 (checagem de consistência):
  • Primeira linha: (1,0,0)\cdot B^{-1} = (1,0,0) — ok.
  • Segunda linha: (3,2,0)\cdot B^{-1} — componente 1: 3\cdot1 + 2\cdot(-\tfrac{3}{2}) = 3-3=0; componente 2: 3\cdot0 + 2\cdot\tfrac{1}{2}=1; componente 3: zeros → 0. Dá (0,1,0) — ok.
  • Terceira linha: (6,4,1)\cdot B^{-1} — componente 1: 6\cdot1 +4\cdot(-\tfrac{3}{2}) +1\cdot0 =6-6+0=0; componente 2: 6\cdot0 +4\cdot\tfrac{1}{2} +1\cdot(-2)=2-2=0; componente 3: 6\cdot0+4\cdot0+1\cdot1=1. Dá (0,0,1) — ok.
Tudo consistente com B^{-1} obtido.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{4}{3} & \dfrac{5}{6}\end{pmatrix}
B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[6pt]-\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} & 0\\[6pt]0 & -2 & 1\end{pmatrix}

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