Calcule uma aproximação para I=\int_{0}^{1} e^{x} d x usando dois subintervalos e a regra dos Trapézios Repetida.

Passo 1

O que o problema pede: aproximar a integral \displaystyle I=\int_{0}^{1} e^{x}\,dx usando dois subintervalos e a regra dos Trapézios repetida (regra dos trapézios composta).\n
Informações dadas e fixas: a=0, b=1 e número de subintervalos n=2. Nada mais foi pedido além da aproximação.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar (regra dos trapézios composta). Para uma função f em [a,b] dividida em n subintervalos de largura h, a aproximação é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)+f(x_n)\right).
Explicando cada símbolo:
  • a e b são os limites de integração (aqui a=0, b=1).
  • n é o número de subintervalos (aqui n=2).
  • h é a largura de cada subintervalo, dada por h=\dfrac{b-a}{n}.
  • x_0,a,x_1,\dots,x_n são os pontos de nós: x_i=a+i h.
  • f(x_i) são os valores da função nos nós.

Passo 3

Calcular h. Usando \displaystyle h=\frac{b-a}{n} temos
h=\frac{1-0}{2}=\frac{1}{2}=0,5.

Passo 4

Determinar os nós x_i:
x_0=0,\qquad x_1=0+1\cdot h=0,5,\qquad x_2=0+2\cdot h=1.

Passo 5

Avaliar a função f(x)=e^{x} nos nós:
f(x_0)=e^{0}=1,
f(x_1)=e^{0,5}=e^{1/2},
f(x_2)=e^{1}=e.
Aqui peguei f(x_i) diretamente da definição f(x)=e^{x} aplicada aos valores dos nós.

Passo 6

Substituir na fórmula da regra dos trapézios composta. Com h=0,5 e n=2 obtemos
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx \approx \frac{0,5}{2}\bigl(f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\bigr) =0,25\bigl(1+2e^{1/2}+e\bigr).

Passo 7

Fazer a aproximação numérica. Usamos os valores aproximados \displaystyle e\approx 2,7182818285 e \displaystyle e^{1/2}\approx 1,6487212707. Então
2e^{1/2}\approx 2\cdot 1,6487212707 \approx 3,2974425414,
1+2e^{1/2}+e \approx 1+3,2974425414+2,7182818285 \approx 7,0157243699,
0,25\cdot 7,0157243699 \approx 1,7539310925.

Passo 8

Interpretação rápida do erro (para te tranquilizar): o valor exato da integral é \displaystyle e-1\approx 1,7182818285. A regra dos trapézios com n=2 deu \approx 1,75393, ou seja superestimou a integral (porque e^{x} é convexa e a regra dos trapézios tende a sobrestimar funções convexas). A diferença é cerca de 0,03565.

Resposta

1,7539310925

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