i. calcular \displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx;
ii. achar a área sob o gráfico de f entre x=-1 e x=2 que está acima do eixo x.
Informações relevantes dadas:
A expressão em (a) é uma soma do tipo soma de termos com fatores \dfrac{2}{n} e \dfrac{1}{n}, e raízes quadradas \sqrt{4-x^2} e \sqrt{1-x^2} avaliadas em pontos proporcionais a i.
Em (b) a função muda de fórmula em x=0; isso pede dividir integrais em intervalos onde cada fórmula vale.]
Passo 2
Interpretação da soma como somas de Riemann (ideia-chave; explicada passo a passo).
Lembre que uma soma de Riemann para aproximar \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\,dx em uma partição com n subintervalos pode ser escrita como
\sum_{i=1}^n g(x_i^*)\,\Delta x,
onde \Delta x=\dfrac{b-a}{n} e x_i^* é um ponto em cada subintervalo. No limite n\to\infty essa soma tende a \displaystyle\int_a^b g(x)\,dx (isto é a definição/intuição de integral definida via somas de Riemann).
Vamos reconhecer cada parte da soma dada como soma de Riemann.
Aqui parece \Delta x=\dfrac{2}{n}. Definindo x_i=\dfrac{2}{n}i, então x_i varia (quando i=1,\dots,n) aproximadamente de \dfrac{2}{n} até 2. Assim este termo corresponde à soma de Riemann para a função g(x)=\sqrt{4-x^{2}} no intervalo [0,2] (usando pontos à direita, por exemplo). Logo, em n\to\infty
Aqui \Delta x=\dfrac{1}{n}. Definindo y_i=\dfrac{1}{n}i, y_i varia de \dfrac{1}{n} até 1. Isso corresponde à soma de Riemann para h(x)=\sqrt{1-x^{2}} no intervalo [0,1]. Assim
Explicação geométrica das integrais (muito útil para esboçar a região).
A função x\mapsto \sqrt{a^{2}-x^{2}} representa a metade superior do círculo de raio a centrado na origem: y=\sqrt{a^{2}-x^{2}} é a semicircunferência superior da equação x^{2}+y^{2}=a^{2}.
Portanto \displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx é a área de um quarto do círculo de raio a (primeiro quadrante, de x=0 a x=a).
Assim:
\displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx é a área do quarto do círculo de raio 2, ou seja \dfrac{1}{4}\pi(2)^{2}=\pi.
\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx é a área do quarto do círculo de raio 1, ou seja \dfrac{1}{4}\pi(1)^{2}=\dfrac{\pi}{4}.
Passo 4
Cálculo numérico do limite usando a interpretação geométrica (ou a antiderivada, que é equivalente).
Para esboçar: desenhar os eixos x e y no primeiro quadrante, traçar o arco do círculo x^{2}+y^{2}=4 (raio 2) e o arco do círculo x^{2}+y^{2}=1 (raio 1), e sombrear a região entre esses dois arcos no primeiro quadrante — é um quarto de anel (setor anular de ângulo \tfrac{\pi}{2}).
Passo 6
Agora resolvendo (b) parte i: cálculo de \displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx.
Como f é definida por pedaços com mudança em x=0, dividimos a integral: