a) (1,0 ponto) Esboce a região cuja área é igual a
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left[\frac{2}{n} \sqrt{4-\left(\frac{2}{n} i\right)^{2}}-\frac{1}{n} \sqrt{1-\left(\frac{1}{n} i\right)^{2}}\right]
e calcule o limite acima.
b) Seja f(x)= \begin{cases}1-x, & \text { se } x>0 ; \\\ e^{x}, & \text { se } x \leq 0 .\end{cases}
i. (1,0 ponto) Calcule \int_{-1}^{2} f(x) d x.
ii. ( 0,5 ponto) Ache a área sob o gráfico da função f de x=-1 até x=2 que está acima do eixo-x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  • (a) Esboçar a região cuja área é igual ao limite
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}\left[\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(\frac{2}{n}i\right)^{2}}-\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{1}{n}i\right)^{2}}\right]
e calcular esse limite.
  • (b) Para a função em pedaços
f(x)=\begin{cases}1-x, & \text{se } x>0,\\[4pt] e^{x}, & \text{se } x\le 0,\end{cases}
i. calcular \displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx;
ii. achar a área sob o gráfico de f entre x=-1 e x=2 que está acima do eixo x.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão em (a) é uma soma do tipo soma de termos com fatores \dfrac{2}{n} e \dfrac{1}{n}, e raízes quadradas \sqrt{4-x^2} e \sqrt{1-x^2} avaliadas em pontos proporcionais a i.
  • Em (b) a função muda de fórmula em x=0; isso pede dividir integrais em intervalos onde cada fórmula vale.]

Passo 2

Interpretação da soma como somas de Riemann (ideia-chave; explicada passo a passo).
  • Lembre que uma soma de Riemann para aproximar \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\,dx em uma partição com n subintervalos pode ser escrita como
\sum_{i=1}^n g(x_i^*)\,\Delta x,
onde \Delta x=\dfrac{b-a}{n} e x_i^* é um ponto em cada subintervalo. No limite n\to\infty essa soma tende a \displaystyle\int_a^b g(x)\,dx (isto é a definição/intuição de integral definida via somas de Riemann).
  • Vamos reconhecer cada parte da soma dada como soma de Riemann.
Para o primeiro termo da soma:
\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(\frac{2}{n}i\right)^{2}}.
  • Aqui parece \Delta x=\dfrac{2}{n}. Definindo x_i=\dfrac{2}{n}i, então x_i varia (quando i=1,\dots,n) aproximadamente de \dfrac{2}{n} até 2. Assim este termo corresponde à soma de Riemann para a função g(x)=\sqrt{4-x^{2}} no intervalo [0,2] (usando pontos à direita, por exemplo). Logo, em n\to\infty
\sum_{i=1}^n \frac{2}{n}\sqrt{4-\left(\frac{2}{n}i\right)^{2}} \longrightarrow \int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.
Para o segundo termo:
\frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{1}{n}i\right)^{2}}.
  • Aqui \Delta x=\dfrac{1}{n}. Definindo y_i=\dfrac{1}{n}i, y_i varia de \dfrac{1}{n} até 1. Isso corresponde à soma de Riemann para h(x)=\sqrt{1-x^{2}} no intervalo [0,1]. Assim
\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\sqrt{1-\left(\frac{1}{n}i\right)^{2}} \longrightarrow \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Portanto a soma total tende a diferença de duas integrais:
\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n}\left[\cdots\right] = \int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx - \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

Passo 3

Explicação geométrica das integrais (muito útil para esboçar a região).
  • A função x\mapsto \sqrt{a^{2}-x^{2}} representa a metade superior do círculo de raio a centrado na origem: y=\sqrt{a^{2}-x^{2}} é a semicircunferência superior da equação x^{2}+y^{2}=a^{2}.
  • Portanto \displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx é a área de um quarto do círculo de raio a (primeiro quadrante, de x=0 a x=a).
  • Assim:
    • \displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx é a área do quarto do círculo de raio 2, ou seja \dfrac{1}{4}\pi(2)^{2}=\pi.
    • \displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx é a área do quarto do círculo de raio 1, ou seja \dfrac{1}{4}\pi(1)^{2}=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Cálculo numérico do limite usando a interpretação geométrica (ou a antiderivada, que é equivalente).
  • Subtraindo as áreas:
\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx - \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.
  • Se preferir ver via fórmula de primitiva, a primitiva geral é
\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C,
e aplicando nos limites acima também dá o mesmo resultado \dfrac{3\pi}{4}.

Passo 5

Esboço da região pedida em (a) — descrição para desenhar.
  • A região é o conjunto de pontos no primeiro quadrante que estão dentro do círculo de raio 2 e fora do círculo de raio 1. Em equações:
\{(x,y)\mid x\ge 0,\\ y\ge 0,\\\ 1\le x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • Para esboçar: desenhar os eixos x e y no primeiro quadrante, traçar o arco do círculo x^{2}+y^{2}=4 (raio 2) e o arco do círculo x^{2}+y^{2}=1 (raio 1), e sombrear a região entre esses dois arcos no primeiro quadrante — é um quarto de anel (setor anular de ângulo \tfrac{\pi}{2}).

Passo 6

Agora resolvendo (b) parte i: cálculo de \displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx.
  • Como f é definida por pedaços com mudança em x=0, dividimos a integral:
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} e^{x}\,dx + \int_{0}^{2} (1-x)\,dx.
  • Calcule cada parcela:
    • \displaystyle\int_{-1}^{0} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{-1}^{0} = e^{0}-e^{-1} = 1 - e^{-1}.
    • \displaystyle\int_{0}^{2} (1-x)\,dx = \left[x - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \left(2-\frac{4}{2}\right) - 0 = 2-2 = 0.
  • Soma:
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = 1 - e^{-1}.

Passo 7

Agora (b) parte ii: área sob o gráfico de f entre x=-1 e x=2 que está acima do eixo x.
  • Precisamos integrar apenas onde f(x)\ge 0. Vamos ver onde f é não-negativa:
    • Para x\le 0: f(x)=e^{x}>0 para todo x\le 0. Então no intervalo [-1,0] a função fica acima do eixo.
    • Para x>0: f(x)=1-x. Isso é positivo quando 1-x>0, ou seja x<1. Em x=1 é zero; para x>1 é negativo.
  • Portanto a parte da curva acima do eixo no intervalo [-1,2] é para x\in[-1,1]. A área pedida é
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} e^{x}\,dx + \int_{0}^{1} (1-x)\,dx.
  • Calculando:
    • A primeira parcela já foi calculada: \displaystyle\int_{-1}^{0} e^{x}\,dx = 1 - e^{-1}.
    • A segunda: \displaystyle\int_{0}^{1} (1-x)\,dx = \left[x - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
  • Soma das áreas:
\text{área acima do eixo} = 1 - e^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - e^{-1}.á

Resposta

(a) A região é o quarto de anel entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4 no primeiro quadrante; \displaystyle\frac{3\pi}{4}
(b.i) \displaystyle 1 - e^{-1}
(b.ii) \displaystyle \frac{3}{2} - e^{-1}

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