Usando as regras de derivação calcule d y / d x para as seguintes funções e simplifique o resultado, se possível:
y=\frac{\cot g(5 x)}{\operatorname{sec} ^{3}(2 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=\frac{\cot\bigl(g(5x)\bigr)}{\operatorname{sec}^{3}(2x)}.
O conteúdo envolve derivadas de funções trigonométricas compostas, regra do produto (ou quociente) e regra da cadeia. Para facilitar, escrevemos
y = \cot\bigl(g(5x)\bigr)\,\operatorname{sec}^{-3}(2x).

Passo 2

Definimos u(x)=\cot\bigl(g(5x)\bigr). Como \tfrac{d}{du}\cot(u)=-\csc^2(u) e
\frac{d}{dx}\bigl(g(5x)\bigr)=g'(5x)\cdot5,
pela regra da cadeia temos
u'(x) = -\csc^2\bigl(g(5x)\bigr)\cdot5\,g'(5x) = -5\,g'(5x)\,\csc^2\bigl(g(5x)\bigr).

Passo 3

Definimos v(x)=\operatorname{sec}^{-3}(2x)=[\operatorname{sec}(2x)]^{-3}. Usando a regra da potência v'= -3w^{-4}w' com w(x)=\operatorname{sec}(2x) e
w'(x)=\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\cdot2,
obtemos
v'(x) = -3[\operatorname{sec}(2x)]^{-4}\cdot2\,\operatorname{sec}(2x)\tan(2x) = -6\,\operatorname{sec}^{-3}(2x)\,\tan(2x).

Passo 4

Pela regra do produto,
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v',
y' = \bigl(-5\,g'(5x)\,\csc^2(g(5x))\bigr)\,\operatorname{sec}^{-3}(2x) + \cot(g(5x))\bigl(-6\,\operatorname{sec}^{-3}(2x)\,\tan(2x)\bigr).

Passo 5

Fatorando -\operatorname{sec}^{-3}(2x) em comum,
y' = -\operatorname{sec}^{-3}(2x)\Bigl(5\,g'(5x)\,\csc^2\bigl(g(5x)\bigr) +6\,\cot\bigl(g(5x)\bigr)\,\tan(2x)\Bigr).

Resposta

y' = -\operatorname{sec}^{-3}(2x)\Bigl(5\,g'(5x)\,\csc^2\bigl(g(5x)\bigr) +6\,\cot\bigl(g(5x)\bigr)\,\tan(2x)\Bigr).

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