Usando as regras de derivação calcule
para as seguintes funções e simplifique o resultado, se possível:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
(a derivada de
em relação a
) e simplificar o resultado, se possível.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é o produto de duas funções:
e . - Não há outras condições ou restrições explícitas.
Passo 2
Decisão do método: como
é produto de duas funções (uma potência e uma função trigonométrica composta), o caminho natural é usar a regra do produto e, para a parte trigonométrica composta, a regra da cadeia. Vou explicar essas regras antes de aplicar.
Regra do produto: se
, então
Aqui
e
são as duas partes do produto;
e
são suas derivadas.
Regra da cadeia: se
, então
Ou seja, deriva-se a função externa
em relação ao seu argumento e multiplica-se pela derivada do argumento
.
Também preciso da derivada da função secante: se
, então
Portanto, para
, a derivada será
multiplicada pela derivada de
.
Passo 3
Defino as partes para aplicar a regra do produto:
Agora calculo
e
separadamente.
Derivada de
:
Aqui usei a regra da potência: se
então a derivada é
.
Passo 4
Derivada de
usando regra da cadeia:
- A função externa
tem . - O argumento interno é
com .
Aplicando a cadeia:
Posso reorganizar multiplicativamente:
Passo 5
Agora aplico a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 6
Faço simplificações algébricas passo a passo:
- No segundo termo,
. Assim
- Ambos os termos têm o fator comum
. Faço a fatoração:
No colchete o
cancela e
. Portanto
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida: a forma fatorada
é equivalente à soma original e costuma ser preferível na prova porque mostra os fatores comuns e fica mais compacta.