Usando as regras de derivação calcule d y / d x para as seguintes funções e simplifique o resultado, se possível:
y=x^{3} \operatorname{sec} \left(9 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{3}\operatorname{sec}\left(9x^{2}\right) e pede para calcular \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x) e simplificar o resultado, se possível.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é o produto de duas funções: x^{3} e \operatorname{sec}\!\left(9x^{2}\right).
  • Não há outras condições ou restrições explícitas.

Passo 2

Decisão do método: como y é produto de duas funções (uma potência e uma função trigonométrica composta), o caminho natural é usar a regra do produto e, para a parte trigonométrica composta, a regra da cadeia. Vou explicar essas regras antes de aplicar.
Regra do produto: se y=u(x)\cdot v(x), então
\dfrac{dy}{dx}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x) e v(x) são as duas partes do produto; u'(x) e v'(x) são suas derivadas.
Regra da cadeia: se v(x)=f(g(x)), então
v'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Ou seja, deriva-se a função externa f em relação ao seu argumento e multiplica-se pela derivada do argumento g(x).
Também preciso da derivada da função secante: se f(t)=\operatorname{sec} t, então
f'(t)=\operatorname{sec} t\cdot\tan t.
Portanto, para v(x)=\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big), a derivada será \operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)\tan\big(9x^{2}\big) multiplicada pela derivada de 9x^{2}.

Passo 3

Defino as partes para aplicar a regra do produto:
u(x)=x^{3},\qquad v(x)=\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big).
Agora calculo u'(x) e v'(x) separadamente.
Derivada de u(x)=x^{3}:
u'(x)=3x^{2}.
Aqui usei a regra da potência: se x^{n} então a derivada é n x^{n-1}.

Passo 4

Derivada de v(x)=\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big) usando regra da cadeia:
  • A função externa f(t)=\operatorname{sec} t tem f'(t)=\operatorname{sec} t\tan t.
  • O argumento interno é g(x)=9x^{2} com g'(x)=18x.
Aplicando a cadeia:
v'(x)=\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)\tan\big(9x^{2}\big)\cdot 18x.
Posso reorganizar multiplicativamente:
v'(x)=18x\,\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)\tan\big(9x^{2}\big).

Passo 5

Agora aplico a regra do produto:
\dfrac{dy}{dx}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\cdot\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)+x^{3}\cdot\big(18x\,\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)\tan\big(9x^{2}\big)\big).

Passo 6

Faço simplificações algébricas passo a passo:
  • No segundo termo, x^{3}\cdot 18x=18x^{4}. Assim
\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)+18x^{4}\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)\tan\big(9x^{2}\big).
  • Ambos os termos têm o fator comum 3x^{2}\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big). Faço a fatoração:
\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)\left[1+\dfrac{18x^{4}\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)\tan\big(9x^{2}\big)}{3x^{2}\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)}\right].
No colchete o \operatorname{sec}\big(9x^{2}\big) cancela e 18x^{4}/(3x^{2})=6x^{2}. Portanto
\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)\left(1+6x^{2}\tan\big(9x^{2}\big)\right).

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: a forma fatorada \;3x^{2}\operatorname{sec}(9x^{2})\big(1+6x^{2}\tan(9x^{2})\big)\; é equivalente à soma original e costuma ser preferível na prova porque mostra os fatores comuns e fica mais compacta.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\operatorname{sec}\big(9x^{2}\big)\left(1+6x^{2}\tan\big(9x^{2}\big)\right)

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