Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cosl(raizxr)raizcos x
O conteúdo principal são as regras de derivação: regra do quociente e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
u(x)=cosl(raizxr), v(x)=raizcos x=(cos x)^tfrac12,
de modo que f(x)=u(x)/v(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia:
a derivada de cos t é -sin t e a derivada de t=raizx é 1/(2raizx). Portanto
u'(x) =-sinl(raizxr)cdot12raizx =-sin(raizx)2raizx

Passo 4

Calculamos v'(x) também por cadeia:
,v(x)=(cos x)^1/2 tem derivada
v'(x) =tfrac12(cos x)^-tfrac12cdot(-sin x) =-sin x2raizcos x

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
Substituindo
u'(x),v(x) =-sin(raizx)2raizx;raizcos x, u(x),v'(x) =cos(raizx);l(-sin x2raizcos xr), l(v(x)r)^2=cos x

Passo 6

Reunindo tudo e simplificando sobre cos x, obtemos
f'(x) = -dfracsin(raizx),raizcos x2raizx ;+; dfraccos(raizx),sin x2raizcos x cos x =;-sin(raizx)2raizx,raizcos x ;+;cos(raizx),tan x2raizcos x

Resposta

boxed f'(x) =-sin(raizx)2raizx,raizcos x ;+; cos(raizx),tan x2raizcos x

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