Se f(x)=ll4-4 x^2 & x<0, 5 x^2+4 & x >= 0, então f^-1(y) para y<4 é igual a:
Escolha uma opção:
a. raizy-4raiz5
b. raiz5-4raiz6
c. raiz4 y-3raiz5
d. -raiz4-y2
e. raiz4-y2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função peça-por-peça
f(x)= 4-4x^2, & x<0, 5x^2+4, & x>=0,
e queremos encontrar f^-1(y) para y<4.
Conteúdo: inversão de função, domínio e imagem.
O que vamos precisar:
  • Entender o ramo que gera valores y<4.
  • Saber que, para inverter, trocamos x por y e resolvemos para x.
  • Escolher o sinal correto (positivo ou negativo) conforme o domínio do ramo.

Passo 2

Teoria de função inversa (de um ramo):
  1. Se y=f(x), a inversa é a relação que dá x em função de y.
  2. Para cada ramo, o domínio original vira a imagem da inversa, e a imagem vira domínio.
  3. Como cada ramo deve ser injetivo, a gente só terá uma raiz ao resolver a equação, escolhendo o sinal de raiz conforme a condição de x.
Agora, para y<4, qual ramo usamos?
  • No ramo x>=0, f(x)=5x^2+4 produz valores >=4.
  • No ramo x<0, f(x)=4-4x^2 produz valores <4.
    Logo, para y<4 usamos o primeiro ramo 4-4x^2.

Passo 3

Vamos inverter y = 4 - 4x^2, sabendo que x<0:
  1. Escreve a equação trocando x por y e y por x:
y = 4 - 4x^2
  1. Isola x^2:
4x^2 = 4 - y Longrightarrow x^2 = 4-y4
  1. Tira a raiz:
x = pm raiz4-y4 = pm raiz4-y2
  1. Como o ramo original exige x<0, escolhemos o sinal negativo:
x = -,raiz4-y2

Resposta

f^-1(y) = -raiz4-y2, y<4

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