Determine, usando a definição por limites, o coeficiente angular da reta tangente à curva f(x)=x^{2}-6 x+9 no ponto (1,5). Em seguida, determine a equação da reta.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-6x+9 e pede duas coisas:
  • Determinar, usando a definição por limites, o coeficiente angular (declive) da reta tangente à curva no ponto (1,5).
  • Determinar a equação da reta tangente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{2}-6x+9.
  • O ponto indicado é (1,5).
Observação importante (verificada a partir da função): calcular f(1)
f(1)=1^{2}-6\cdot1+9=1-6+9=4,
ou seja, o ponto da curva com abscissa x=1 é (1,4), não (1,5). Como a reta tangente a uma curva em um ponto deve passar pela própria curva, o par (1,5) não pertence a f. Portanto vou proceder encontrando a reta tangente no ponto de abscissa x=1, isto é, em (1,4). Se o enunciado realmente quisesse (1,5), isso estaria inconsistente com a função dada.

Passo 2

Definição por limites da derivada (interpretação didática): a derivada de f em a, escrita f'(a), é o limite da inclinação das secantes entre a e a+h quando h tende a zero. Formalmente:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Significado das variáveis:
  • a é o ponto onde queremos a derivada (aqui a=1).
  • h é um pequeno incremento de x; a fração é a inclinação da secante entre x=a e x=a+h.
  • O limite quando h\to0 transforma a secante na tangente, e o valor do limite é o coeficiente angular da tangente.

Passo 3

Aplicando a definição para a=1. Primeiro calcule f(1) (já feito) e depois f(1+h):
f(1)=4.
f(1+h)=(1+h)^{2}-6(1+h)+9.

Passo 4

Expandir e simplificar f(1+h):
(1+h)^{2}=1+2h+h^{2},
então
f(1+h)=1+2h+h^{2}-6-6h+9.
Agora junte termos constantes e os termos em h:
f(1+h)=\bigl(1-6+9\bigr)+(2h-6h)+h^{2}=4-4h+h^{2}.
Calcule a diferença do quociente incremental:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(4-4h+h^{2})-4}{h}=\frac{-4h+h^{2}}{h}.
Fatore h no numerador:
\frac{-4h+h^{2}}{h}=\frac{h(-4+h)}{h}.
Como estamos tomando o limite quando h\to0, podemos cancelar o fator h (para h\neq0) e obter a expressão simplificada
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=-4+h.
Agora tome o limite h\to0:
f'(1)=\lim_{h\to0}(-4+h)=-4.
Interpretação: o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto com abscissa x=1 é -4.

Passo 5

Confirmando o ponto de tangência: já calculamos f(1)=4, logo o ponto na curva é (1,4). Reforço: (1,5) não está na curva, então a reta tangente em x=1 passa por (1,4).

Passo 6

Equação da reta tangente (formato ponto-declive). A fórmula ponto-declive é
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto de tangência e m é o coeficiente angular. Aqui x_{0}=1, y_{0}=4 e m=-4. Substituindo:
y-4=-4(x-1).
Desenvolvendo para a forma explícita:
y-4=-4x+4\quad\Rightarrow\quad y=-4x+8.
Verificação rápida: em x=1, y=-4\cdot1+8=4, confirma que a reta passa por (1,4).

Resposta

m=-4
y=-4x+8

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