Determine, usando a definição por limites, o coeficiente angular da reta tangente à curva
no ponto (1,5). Em seguida, determine a equação da reta.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar, usando a definição por limites, o coeficiente angular (declive) da reta tangente à curva no ponto
. - Determinar a equação da reta tangente.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto indicado é
.
Observação importante (verificada a partir da função): calcular
dá
ou seja, o ponto da curva com abscissa
é
, não
. Como a reta tangente a uma curva em um ponto deve passar pela própria curva, o par
não pertence a
. Portanto vou proceder encontrando a reta tangente no ponto de abscissa
, isto é, em
. Se o enunciado realmente quisesse
, isso estaria inconsistente com a função dada.
Passo 2
Definição por limites da derivada (interpretação didática): a derivada de
em
, escrita
, é o limite da inclinação das secantes entre
e
quando
tende a zero. Formalmente:
Significado das variáveis:
-
é o ponto onde queremos a derivada (aqui ). -
é um pequeno incremento de ; a fração é a inclinação da secante entre e . - O limite quando
transforma a secante na tangente, e o valor do limite é o coeficiente angular da tangente.
Passo 3
Aplicando a definição para
. Primeiro calcule
(já feito) e depois
:
Passo 4
Expandir e simplificar
:
então
Agora junte termos constantes e os termos em
:
Calcule a diferença do quociente incremental:
Fatore
no numerador:
Como estamos tomando o limite quando
, podemos cancelar o fator
(para
) e obter a expressão simplificada
Agora tome o limite
:
Interpretação: o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto com abscissa
é
.
Passo 5
Confirmando o ponto de tangência: já calculamos
, logo o ponto na curva é
. Reforço:
não está na curva, então a reta tangente em
passa por
.
Passo 6
Equação da reta tangente (formato ponto-declive). A fórmula ponto-declive é
onde
é o ponto de tangência e
é o coeficiente angular. Aqui
,
e
. Substituindo:
Desenvolvendo para a forma explícita:
Verificação rápida: em
,
, confirma que a reta passa por
.