Usando regras de derivação, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto indicado. f(x)=tg x, x=5 pi4

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à função f(x)=tgx no ponto onde x=tfrac5pi4. Vamos usar regras de derivação, mais especificamente a derivada de tgx, para encontrar o coeficiente angular e depois montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Calculamos primeiro o valor da função no ponto:
fl(tfrac5pi4r)=tgl(tfrac5pi4r)=1
Aqui usamos que tan(pi+alpha)=tanalpha e tan(pi/4)=1.

Passo 3

Aplicamos a derivada de tgx, que é ddxtgx=sec^2x, e avaliamos em x=tfrac5pi4:
f'l(tfrac5pi4r)=sec^2l(tfrac5pi4r)=1cos^2l(tfrac5pi4r)=2,
pois cos(tfrac5pi4)=-tfracraiz22.

Passo 4

Com o ponto (x0,y0)=(tfrac5pi4,1) e coeficiente angular m=2, montamos a reta tangente pela fórmula
y-y0=m(x-x0)
Substituindo, obtemos
y-1=2l(x-tfrac5pi4r)

Resposta

A equação da reta tangente é y-1=2l(x-tfrac5pi4r), que equivale a y=2x+1-tfrac5pi2.

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