Use a regra de LHopital para calcular cada limite, se existir
lim x +infty ln (2+e^x)3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando a regra de L’Hôpital. O enunciado é:
limx +infty ln (2 + e^x)3x
Aqui estamos lidando com cálculo de limites, especificamente aplicando a regra de L’Hôpital para resolver expressões que dão uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente temos uma forma indeterminada do tipo . À medida que vai para :
  • cresce muito rápido, então .
  • , então .
  • O denominador é .
Portanto, o limite fica aproximadamente , mas para ter certeza, vamos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma ddx ln(2 + e^x) = e^x2 + e^x ou ddx 3x = 3 , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite:
limx +infty e^x2 + e^x3 = limx +infty e^x3(2 + e^x)
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por limx +infty 13(2e^x + 1) = 13(0 + 1) = 13 :

Resposta

O limite é .

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