Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
y=\sqrt[4]{x}-\frac{2}{\operatorname{sec} x+1}+\frac{1}{2} x^{4}+\frac{2}{x^{6}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a expressão da derivada da função
y=\sqrt[4]{x}-\frac{2}{\operatorname{sec} x+1}+\frac{1}{2}x^{4}+\frac{2}{x^{6}}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{a função é a soma de quatro termos: } \sqrt[4]{x},\; -\frac{2}{\operatorname{sec} x+1},\; \frac{1}{2}x^{4},\; \frac{2}{x^{6}}.çãé
O que se pede: encontrar y', a derivada de y em função de x.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
y = f(x)+g(x)+h(x)+\dots,
então
y' = f'(x)+g'(x)+h'(x)+\dots.
Isso nos permite derivar cada termo separadamente e somar os resultados. Também vamos usar a regra do expoente (power rule) e a regra da cadeia (chain rule) para as composições, além da derivada da função secante.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \sqrt[4]{x}.
Reescrevemos \sqrt[4]{x} = x^{1/4}.
A regra do expoente diz que, para qualquer real n,
\frac{d}{dx} x^{n} = n x^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{4}:
\frac{d}{dx}x^{1/4} = \frac{1}{4} x^{1/4-1} = \frac{1}{4} x^{-3/4}.

Passo 4

Derivada do segundo termo -\dfrac{2}{\operatorname{sec} x+1}.
Primeiro reescrevemos como potência:
-\frac{2}{\operatorname{sec} x+1} = -2(\operatorname{sec} x+1)^{-1}.
Usamos a regra da cadeia: se u(x)=\operatorname{sec} x+1 e queremos \frac{d}{dx}[-2u^{-1}], então
\frac{d}{dx}[-2u^{-1}] = -2\cdot(-1)u^{-2}\cdot u' = 2u' u^{-2}.
Agora precisamos de u'=\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x+1). A derivada da secante é
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \operatorname{sec} x\tan x,
pois \operatorname{sec} x = 1/\cos x e derivando dá \dfrac{\sin x}{\cos^{2}x} = \operatorname{sec} x\tan x. A constante 1 tem derivada 0. Logo u'=\operatorname{sec} x\tan x.
Substituindo em 2u' u^{-2}:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{\operatorname{sec} x+1}\right) = 2\cdot\frac{\operatorname{sec} x\tan x}{(\operatorname{sec} x+1)^{2}}.

Passo 5

(Como extra útil) podemos simplificar a expressão trigonométrica anterior escrevendo \operatorname{sec} x e \tan x em termos de \cos x e \sin x. Observe:
\operatorname{sec} x\tan x = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x},
e
\operatorname{sec} x+1=\frac{1}{\cos x}+1=\frac{1+\cos x}{\cos x}.
Então
\frac{\operatorname{sec} x\tan x}{(\operatorname{sec} x+1)^{2}} = \frac{\dfrac{\sin x}{\cos^{2}x}}{\dfrac{(1+\cos x)^{2}}{\cos^{2}x}} = \frac{\sin x}{(1+\cos x)^{2}}.
Portanto a derivada do segundo termo também pode ser escrita como
\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{\operatorname{sec} x+1}\right)=\frac{2\sin x}{(1+\cos x)^{2}}.
Essa forma é mais curta e muitas vezes útil em provas.

Passo 6

Derivada do terceiro termo \dfrac{1}{2}x^{4}.
Aplicando a regra do expoente com constante multiplicativa:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^{4}\right) = \frac{1}{2}\cdot 4x^{3} = 2x^{3}.

Passo 7

Derivada do quarto termo \dfrac{2}{x^{6}}.
Reescrevemos como potência negativa: \dfrac{2}{x^{6}} = 2x^{-6}.
Aplicando a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{-6}\bigr)=2\cdot(-6)x^{-7} = -12x^{-7}.
Em forma de fração isso é -\dfrac{12}{x^{7}}.

Passo 8

Juntando todas as derivadas (regra da soma do Passo 2) obtemos inicialmente:
y' = \frac{1}{4}x^{-3/4} + 2\cdot\frac{\operatorname{sec} x\tan x}{(\operatorname{sec} x+1)^{2}} + 2x^{3} -12x^{-7}.
Usando a simplificação trigonométrica do Passo 5 para o segundo termo, podemos também escrever
y' = \frac{1}{4}x^{-3/4} + \frac{2\sin x}{(1+\cos x)^{2}} + 2x^{3} - \frac{12}{x^{7}}.
Ambas as formas estão corretas; a segunda é um pouco mais compacta para o termo trigonométrico.

Resposta

y'=\frac{1}{4}x^{-3/4}+\frac{2\operatorname{sec} x\tan x}{(\operatorname{sec} x+1)^{2}}+2x^{3}-12x^{-7}
ou, de forma alternativa e simplificada para o termo trigonométrico,
y'=\frac{1}{4}x^{-3/4}+\frac{2\sin x}{(1+\cos x)^{2}}+2x^{3}-\frac{12}{x^{7}}.

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