Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a expressão da derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: encontrar
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Regra básica que vamos usar: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Isso nos permite derivar cada termo separadamente e somar os resultados. Também vamos usar a regra do expoente (power rule) e a regra da cadeia (chain rule) para as composições, além da derivada da função secante.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Reescrevemos .
A regra do expoente diz que, para qualquer real ,
Reescrevemos
A regra do expoente diz que, para qualquer real
Aplicando com
:
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
Primeiro reescrevemos como potência:
Primeiro reescrevemos como potência:
Usamos a regra da cadeia: se
e queremos
, então
Agora precisamos de
. A derivada da secante é
pois
e derivando dá
. A constante
tem derivada
. Logo
.
Substituindo em
:
Passo 5
(Como extra útil) podemos simplificar a expressão trigonométrica anterior escrevendo
e
em termos de
e
. Observe:
e
Então
Portanto a derivada do segundo termo também pode ser escrita como
Essa forma é mais curta e muitas vezes útil em provas.
Passo 6
Derivada do terceiro termo
.
Aplicando a regra do expoente com constante multiplicativa:
Aplicando a regra do expoente com constante multiplicativa:
Passo 7
Derivada do quarto termo
.
Reescrevemos como potência negativa: .
Aplicando a regra do expoente:
Reescrevemos como potência negativa:
Aplicando a regra do expoente:
Em forma de fração isso é
.
Passo 8
Juntando todas as derivadas (regra da soma do Passo 2) obtemos inicialmente:
Usando a simplificação trigonométrica do Passo 5 para o segundo termo, podemos também escrever
Ambas as formas estão corretas; a segunda é um pouco mais compacta para o termo trigonométrico.
Resposta
ou, de forma alternativa e simplificada para o termo trigonométrico,