Determine a solução da equação diferencial
x(1+x) d ud x=u^2, x>0
que satisfaz a condição inicial u(1)=1.

Passo 1

Temos a equação diferencial x(1+x)dudx=u^2 com a condição u(1)=1. É uma equação de primeira ordem e vamos usar separação de variáveis e integração para resolver.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo duu^2=dxx(1+x).

Passo 3

Agora integramos os dois lados: integral duu^2 = integral dxx(1+x).
No lado esquerdo, integral u^-2du = -1u. No lado direito, fazemos frações parciais: 1x(1+x)=1x-11+x, então integral(1x-11+x)dx = ln x - ln(1+x).

Passo 4

Somando as integrais, obtemos a relação implícita -1u = lnx1+x + C.
Aplicando a condição u(1)=1 temos -1 = ln12 + C, logo C = ln 2 - 1.

Passo 5

Substituindo C e isolando u, invertendo o sinal: 1u = -lnx1+x - C = ln1+xx - (ln2 - 1) = 1 + ln1+x2x. Então u(x) = 11+ln1+x2x.

Resposta

u(x) = 11+ln1+x2x.

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