Usando as Regras de Derivação encontre as derivadas das seguintes funções.
f(x)=x^{-2,5}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=x^{-2,5}.
Informações dadas: a função é uma potência de x com expoente -2,5.
A tarefa é aplicar regras de derivação para obter f'(x).

Passo 2

Regra que vamos usar (Regra da potência):
Seja g(x)=x^{n}, onde n é qualquer número real e x é a variável. A derivada é
g'(x)=n\;x^{n-1}.
Explicando: o símbolo n é o expoente (um número fixo), x é a variável. Para derivar, multiplicamos a função pelo expoente e subtraímos 1 do expoente. Essa regra vale para expoentes inteiros, racionais e reais (desde que x esteja num domínio onde a expressão faça sentido).

Passo 3

Aplicando a regra da potência ao nosso caso: aqui n=-2,5. Primeiro, para ficar mais claro, converto o decimal em fração (opcional, mas ajuda na simplificação):
-2,5 = -\tfrac{5}{2}.
Vou usar ambos os formatos (decimal e fracionário) ao longo da conta para você entender.

Passo 4

Usando a fórmula g'(x)=n\,x^{n-1} com n=-2,5, temos
f'(x) = -2,5 \; x^{-2,5-1}.
Agora calculamos o novo expoente -2,5-1.

Passo 5

Calcule o expoente:
-2,5-1 = -3,5.
Portanto, na forma decimal
f'(x) = -2,5\;x^{-3,5}.
Se preferir em fração: com n=-\tfrac{5}{2},
n-1 = -\tfrac{5}{2}-1 = -\tfrac{5}{2}-\tfrac{2}{2} = -\tfrac{7}{2},
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f'(x) = -\tfrac{5}{2}\;x^{-\tfrac{7}{2}}.

Passo 6

Interpretando as potências positivas / radicais: lembrando que x^{-\tfrac{7}{2}}=\dfrac{1}{x^{7/2}}=\dfrac{1}{x^{3}\sqrt{x}}. Assim uma forma sem expoente negativo é
f'(x) = -\dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{1}{x^{3}\sqrt{x}} = -\dfrac{5}{2x^{3}\sqrt{x}}.
Observação sobre domínio: como aparece x no denominador (potência negativa), a derivada só está definida para x\neq 0. Além disso, se estivermos no contexto de raízes reais, para escrever \sqrt{x} é preciso x>0; mas a forma com expoente fracionário x^{-7/2} é válida para x>0 no reals. Se trabalharmos em números reais e quisermos permitir x<0, mantemos a forma com potências racionais ímpares no numerador/denominador conforme o contexto — de qualquer forma, a derivada não existe em x=0.

Passo 7

Resumo final: as formas equivalentes da derivada são as que seguem (escolha a que preferir em prova):

Resposta

-2,5\;x^{-3,5}
-\dfrac{5}{2}\;x^{-\tfrac{7}{2}} = -\dfrac{5}{2x^{3}\sqrt{x}}

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