Usando as Regras de Derivação encontre as derivadas das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
.
Informações dadas: a função é uma potência de com expoente
.
A tarefa é aplicar regras de derivação para obter .
Informações dadas: a função é uma potência de
A tarefa é aplicar regras de derivação para obter
Passo 2
Regra que vamos usar (Regra da potência):
Seja , onde
é qualquer número real e
é a variável. A derivada é
Seja
Explicando: o símbolo
é o expoente (um número fixo),
é a variável. Para derivar, multiplicamos a função pelo expoente e subtraímos
do expoente. Essa regra vale para expoentes inteiros, racionais e reais (desde que
esteja num domínio onde a expressão faça sentido).
Passo 3
Aplicando a regra da potência ao nosso caso: aqui
. Primeiro, para ficar mais claro, converto o decimal em fração (opcional, mas ajuda na simplificação):
Vou usar ambos os formatos (decimal e fracionário) ao longo da conta para você entender.
Passo 4
Usando a fórmula
com
, temos
Agora calculamos o novo expoente
.
Passo 5
Calcule o expoente:
Portanto, na forma decimal
Se preferir em fração: com
,
logo
Passo 6
Interpretando as potências positivas / radicais: lembrando que
. Assim uma forma sem expoente negativo é
Observação sobre domínio: como aparece
no denominador (potência negativa), a derivada só está definida para
. Além disso, se estivermos no contexto de raízes reais, para escrever
é preciso
; mas a forma com expoente fracionário
é válida para
no reals. Se trabalharmos em números reais e quisermos permitir
, mantemos a forma com potências racionais ímpares no numerador/denominador conforme o contexto — de qualquer forma, a derivada não existe em
.
Passo 7
Resumo final: as formas equivalentes da derivada são as que seguem (escolha a que preferir em prova):