Usando as regras de derivação estabelecidas, calcule as derivadas das seguintes funções.
Sugestão: Primeiro desenvolva o cubo.

Passo 1

Temos a função f(x)=(-2x^2+1)^3. O conteúdo é derivação de polinômios e potências. A ideia é usar a regra de potência e da soma, mas seguindo a sugestão vamos primeiro expandir o cubo para depois derivar termo a termo.

Passo 2

Para desenvolver o cubo usamos a fórmula de binômio de Newton de grau 3: (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. Aqui a=-2x^2 e b=1. Assim temos:
(-2x^2+1)^3 = (-2x^2)^3 + 3(-2x^2)^2 cdot 1 + 3(-2x^2)cdot1^2 + 1^3 = -8x^6 + 12x^4 -6x^2 +1

Passo 3

Agora derivamos cada termo usando a regra ddx[ax^n]=a n x^n-1. Derivando termo a termo:
ddx(-8x^6) = -48x^5, ddx(12x^4)=48x^3, ddx(-6x^2)=-12x, ddx(1)=0

Passo 4

Somando os resultados, obtemos a derivada final:

Resposta

f'(x)=-48x^5+48x^3-12x

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