Considere a função f(x)=x^{2} e sabendo que sua derivada é f^{\prime}(x)=2 x, calcule a inclinação de f em:
b) x=0

Passo 1

O enunciado dá: f(x)=x^{2} e informa que a derivada é f'(x)=2x. A pergunta é calcular a inclinação de f em x=0.
Observação: peguei a informação de que o ponto B no gráfico está em (0,0) a partir da imagem fornecida.

Passo 2

O que significa "inclinação de f em x=0"? É a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto cuja abscissa é x=0. Matematicamente, essa inclinação é exatamente o valor da derivada avaliada em 0, isto é, f'(0).
Explicando o conceito de derivada (passo a passo): a derivada de f num ponto a pode ser definida por
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
onde h é um pequeno incremento em x. Esse quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} representa a inclinação do segmento secante que liga os pontos (a,f(a)) e (a+h,f(a+h)). Quando h tende a zero, a secante vira a tangente e a inclinação tende para a derivada.

Passo 3

O enunciado já nos deu a fórmula simples da derivada:
f'(x)=2x.
Para encontrar a inclinação em x=0 basta substituir x=0 nessa fórmula:
f'(0)=2\cdot 0=0.

Passo 4

Vou confirmar o mesmo resultado calculando a derivada em 0 usando a definição (para treinar a técnica que pode aparecer na prova):
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{(h)^{2}-0^{2}}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}}{h} =\lim_{h\to 0}h=0.
Chegamos ao mesmo valor, portanto a derivada/ inclinação em x=0 é 0.

Passo 5

Interpretação geométrica e equação da reta tangente (útil na prova): o ponto da curva em x=0 é (0,f(0))=(0,0) (verifiquei isso na imagem). Como a inclinação é 0, a reta tangente é horizontal e sua equação, usando forma-ponto, é
y-f(0)=f'(0)(x-0)\quad\Rightarrow\quad y-0=0\cdot x,
ou seja,
y=0.
Portanto a reta tangente em x=0 é o eixo x (reta horizontal).

Passo 6

Resumo amigável: a derivada dá a inclinação da tangente; aqui f'(x)=2x leva a f'(0)=0. Isso significa que no vértice da parábola y=x^{2} a tangente é horizontal. Força aí — esse tipo de pergunta é direta na prova: substituir na derivada ou usar a definição de limite.

Resposta

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