Considere a função
e sabendo que sua derivada é
, calcule a inclinação de
em:
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá:
e informa que a derivada é
. A pergunta é calcular a inclinação de
em
.
Observação: peguei a informação de que o ponto no gráfico está em
a partir da imagem fornecida.
Observação: peguei a informação de que o ponto
Passo 2
O que significa "inclinação de
em
"? É a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto cuja abscissa é
. Matematicamente, essa inclinação é exatamente o valor da derivada avaliada em
, isto é,
.
Explicando o conceito de derivada (passo a passo): a derivada de
num ponto
pode ser definida por
onde
é um pequeno incremento em
. Esse quociente
representa a inclinação do segmento secante que liga os pontos
e
. Quando
tende a zero, a secante vira a tangente e a inclinação tende para a derivada.
Passo 3
O enunciado já nos deu a fórmula simples da derivada:
Para encontrar a inclinação em
basta substituir
nessa fórmula:
Passo 4
Vou confirmar o mesmo resultado calculando a derivada em
usando a definição (para treinar a técnica que pode aparecer na prova):
Chegamos ao mesmo valor, portanto a derivada/ inclinação em
é
.
Passo 5
Interpretação geométrica e equação da reta tangente (útil na prova): o ponto da curva em
é
(verifiquei isso na imagem). Como a inclinação é
, a reta tangente é horizontal e sua equação, usando forma-ponto, é
ou seja,
Portanto a reta tangente em
é o eixo
(reta horizontal).
Passo 6
Resumo amigável: a derivada dá a inclinação da tangente; aqui
leva a
. Isso significa que no vértice da parábola
a tangente é horizontal. Força aí — esse tipo de pergunta é direta na prova: substituir na derivada ou usar a definição de limite.