Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
y=8

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função y=8.
Informações dadas:
  • A função é y(x)=8, uma constante (o mesmo valor 8 para todo x).
    Pergunta a responder: qual é \dfrac{dy}{dx} (ou y' ou f'(x)) para essa função.

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada (essa é a forma formal que encaixa em qualquer prova). Para uma função f(x), a derivada em x é dada por
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • f'(x) é a derivada (a taxa de variação instantânea de f em relação a x);
  • h representa um pequeno incremento em x;
  • a expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é o coeficiente angular da secante entre x e x+h; o limite quando h\to0 dá a inclinação da tangente.

Passo 3

Aplicando a definição à função f(x)=8. Primeiro calcule f(x+h):
f(x+h)=8
porque a função é constante (não depende de x). Então o numerador da diferença é
f(x+h)-f(x)=8-8=0.
Portanto a razão diferencial fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{0}{h}=0\quad\text{(para todo }h\neq0\text{)}.
Agora o limite quando h\to0 é trivial:
f'(x)=\lim_{h\to0}0=0.

Passo 4

Interpretação intuitiva e dica de prova: graficamente, y=8 é uma reta horizontal. A inclinação de uma reta horizontal é zero, então a derivada (que mede inclinação) deve ser zero. Em provas, além da definição por limite, dá para usar a regra padrão: a derivada de uma constante c é 0. Sempre que ver y=c reporte imediatamente y'=0.

Passo 5

Notações equivalentes que você pode escrever na prova:
\frac{dy}{dx}=0,\qquad y'=0,\qquad f'(x)=0.
Fica a dica: escreva uma das formas acima e, se quiser, justifique com a definição por limite (como fiz aqui) ou mencionando a regra “derivada de constante = 0”.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=0

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