Usando as regras de derivação, onde
estiver definida, encontre as derivadas das seguintes funções de variável complexa:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função de variável complexa f(s)=cotgh(s), ou seja, coth(s). O conteúdo envolvido é derivação de funções hiperbólicas e vamos precisar usar a regra do quociente e a identidade cosh²(s)–sinh²(s)=1.
Passo 2
Escrevemos f(s) como quociente de hiperbólicas: u(s)=cosh(s) e v(s)=sinh(s), de modo que
Passo 3
Aplicamos a regra do quociente, que diz
Passo 4
Calculamos as derivadas de u e v: como (d/ds)cosh(s)=sinh(s) e (d/ds)sinh(s)=cosh(s), substituímos na fórmula:
Passo 5
Usamos a identidade hiperbólica cosh²(s)–sinh²(s)=1, que implica sinh²(s)–cosh²(s)=−1. Logo:
Resposta
A derivada é f’(s)=−csch²(s), ou seja, .