Usando as regras de derivação, onde f estiver definida, encontre as derivadas das seguintes funções de variável complexa:
f(s)=cotgh(s)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de variável complexa f(s)=cotgh(s), ou seja, coth(s). O conteúdo envolvido é derivação de funções hiperbólicas e vamos precisar usar a regra do quociente e a identidade cosh²(s)–sinh²(s)=1.

Passo 2

Escrevemos f(s) como quociente de hiperbólicas: u(s)=cosh(s) e v(s)=sinh(s), de modo que
f(s)=coth(s)=u(s)v(s)=cosh(s)sinh(s)

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente, que diz
f'(s)=u'(s),v(s)-u(s),v'(s)[v(s)]^2

Passo 4

Calculamos as derivadas de u e v: como (d/ds)cosh(s)=sinh(s) e (d/ds)sinh(s)=cosh(s), substituímos na fórmula:
f'(s)=sinh(s),sinh(s)-cosh(s),cosh(s)sinh^2(s)=sinh^2(s)-cosh^2(s)sinh^2(s)

Passo 5

Usamos a identidade hiperbólica cosh²(s)–sinh²(s)=1, que implica sinh²(s)–cosh²(s)=−1. Logo:
f'(s)=-1sinh^2(s)=-1sinh^2(s)

Resposta

A derivada é f’(s)=−csch²(s), ou seja, .

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