Usando as Regras de L’Hospital prove que:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1-\cos x) \ln x=0

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} (1-\cos x)\ln x.
Informações do enunciado e comportamento das partes quando x\to 0^{+}:
  • \ln x \to -\infty.
  • 1-\cos x \to 0^{+}.
    Portanto o produto (1-\cos x)\ln x tem a forma indeterminada 0\cdot(-\infty). A resolução vai transformar essa expressão em uma razão adequada para aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Transformação da indeterminação em uma razão: escrevo o produto como uma divisão
(1-\cos x)\ln x = \frac{\ln x}{\dfrac{1}{1-\cos x}}.
Analisando os limites das duas partes quando x\to 0^{+}:
  • Numerador: \ln x \to -\infty.
  • Denominador: \dfrac{1}{1-\cos x}\to +\infty porque 1-\cos x\to 0^{+}.
    Temos, então, uma indeterminação do tipo \dfrac{-\infty}{+\infty}, que é admissível para aplicar a Regra de L’Hospital.
Breve explicação da Regra de L’Hospital (versão usada): se para x próximo de a as funções f e g são diferenciáveis (exceto possivelmente em a), e f(x)\to \pm\infty, g(x)\to \pm\infty (ou ambos tendem a 0), e se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe finito (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=\ln x e g(x)=1/(1-\cos x) satisfazem as hipóteses para x\to 0^{+} (são diferenciáveis em (0,\varepsilon), etc.), então podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Calcular as derivadas envolvidas:
  • Derivada do numerador:
f'(x)=(\ln x)'=\frac{1}{x}.
  • Derivada do denominador: escrevo g(x)=(1-\cos x)^{-1}. Usando a regra da cadeia,
g'(x) = -1\cdot(1-\cos x)^{-2}\cdot(1-\cos x)' = -(1-\cos x)^{-2}\cdot(\sin x).
Portanto
g'(x) = -\frac{\sin x}{(1-\cos x)^2}.

Passo 4

Segundo L’Hospital,
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln x}{\dfrac{1}{1-\cos x}} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{\sin x}{(1-\cos x)^2}}.
Simplifico a fração:
\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{\sin x}{(1-\cos x)^2}} = -\frac{(1-\cos x)^2}{x\sin x}.
Logo o limite procurado é
\lim_{x\to 0^{+}} (1-\cos x)\ln x = \lim_{x\to 0^{+}} \left(-\frac{(1-\cos x)^2}{x\sin x}\right).

Passo 5

Usar identidades trigonométricas para simplificar (1-\cos x)^2/(x\sin x). A identidade útil é
1-\cos x = 2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo,
(1-\cos x)^2 = 4\sin^4\!\left(\frac{x}{2}\right), \qquad \sin x = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Assim
-\frac{(1-\cos x)^2}{x\sin x} = -\frac{4\sin^4\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x\cdot 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = -\frac{2\sin^3\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.

Passo 6

Agora reescrevo \sin^3\!\left(\dfrac{x}{2}\right) de forma que apareça o quociente padrão \dfrac{\sin t}{t}. Observe que
\sin^3\!\left(\frac{x}{2}\right) =\left(\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^3 \left(\frac{x}{2}\right)^3.
Substituindo na expressão anterior,
-\frac{2\sin^3\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = -2\left(\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^3 \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^3}{x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.
Calculo o fator racionalizado:
\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^3}{x} = \frac{x^3}{8x} = \frac{x^2}{8}.
Portanto
-\frac{2\sin^3\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = -\frac{x^2}{4}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^3\frac{1}{\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.

Passo 7

Usar limites conhecidos: sabemos que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1
e também \lim_{t\to 0}\cos t = 1. Tomando t=\dfrac{x}{2} e passando ao limite x\to 0^{+} na expressão do Passo 6, obtemos
\lim_{x\to 0^{+}} -\frac{x^2}{4}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^3\frac{1}{\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = -\frac{0^2}{4}\cdot 1^3 \cdot 1 = 0.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} \left(-\frac{(1-\cos x)^2}{x\sin x}\right) = 0.

Passo 8

Concluir pelo resultado da aplicação da Regra de L’Hospital: como o limite da razão das derivadas existe e vale 0, segue que o limite original também vale 0. Além disso, a interpretação intuitiva: 1-\cos x é da ordem de x^2 quando x é pequeno, e x^2 vence o crescimento em módulo de \ln x, fazendo o produto tender a zero.

Resposta

0

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