Usando as Regras de L’Hospital prove que:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{e^{2 x}}=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{e^{2x}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é \ln x, definido para x>0.
  • O denominador é e^{2x}, definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • Quando x\to+\infty temos \ln x\to+\infty e e^{2x}\to+\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada \frac{+\infty}{+\infty}.
  • Os passos efetivos da resolução começam no Passo 2.

Passo 2

Apresento a regra que vamos usar (enunciada de forma didática):
Sejam f e g funções diferenciáveis em um intervalo (a,+\infty) (para algum a) e suponha que quando x\to+\infty tanto f(x) quanto g(x) tendem para +\infty (ou ambos tendem a 0). Se g'(x)\neq 0 para x suficientemente grande e o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (pode ser um número finito ou \pm\infty), então
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Esse é o conteúdo essencial da Regra de L’Hospital. Intuição rápida: quando as funções crescem muito, a razão entre elas costuma ser dada pela razão entre as taxas instantâneas de crescimento (as derivadas).

Passo 3

Verifico as hipóteses para as funções do problema:
  • Defino f(x)=\ln x e g(x)=e^{2x}.
  • Ambas são diferenciáveis em (0,+\infty).
  • Como notei no Passo 1, \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty e \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty. Logo estamos no caso \frac{+\infty}{+\infty}.
  • A derivada g'(x) será 2e^{2x}, que é diferente de zero para todo x. Então as hipóteses da Regra de L’Hospital estão satisfeitas e podemos aplicá‑la.

Passo 4

Calculo as derivadas (passo a passo, sem pular):
  • A derivada de f(x)=\ln x é
f'(x)=\frac{1}{x}.
Explicação: a regra básica diz que \frac{d}{dx}\ln x = 1/x para x>0.
  • A derivada de g(x)=e^{2x} é
g'(x)=2e^{2x}.
Explicação: usar a regra da cadeia: se g(x)=e^{u(x)} então g'(x)=u'(x)e^{u(x)}; aqui u(x)=2x e u'(x)=2, daí g'(x)=2e^{2x}.

Passo 5

Aplico a Regra de L’Hospital:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{e^{2x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{2e^{2x}}.
Simplificando a fração obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x e^{2x}}.

Passo 6

Estudo o novo limite \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2x e^{2x}}.
  • Para x\to+\infty temos e^{2x}\to+\infty. Multiplicar e^{2x} por 2x (que também tende a +\infty) dá um produto que vai para +\infty. Em símbolos:
2x e^{2x}\to+\infty\quad \text{quando }x\to+\infty.
  • Então o recíproco tende a 0:
\frac{1}{2x e^{2x}}\to 0\quad \text{quando }x\to+\infty.
Razoamento intuitivo: exponencial vence qualquer potência (aqui o fator x é apenas uma potência de ordem 1), então o denominador cresce tão rápido que sua recíproca vai a zero.

Passo 7

Concluo, usando os passos anteriores, que
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{e^{2x}}=0.
Você pode pensar nisso assim: e^{2x} cresce muito mais rápido que \ln x, então a fração “é esmagada” pelo denominador e vai para zero. Boa: já temos a resposta e aplicamos a Regra de L’Hospital corretamente.

Resposta

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