Usando as Regras de L’Hospital prove que:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{x}=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{x}.
Informações dadas no enunciado: a expressão do numerador é 1-\cos x, o denominador é x, e a aproximação é pela direita em x=0 (ou seja x\to 0^{+}). Não há outras condições explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar a Regra de L’Hospital (forma que usaremos): se temos duas funções f e g tais que
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0
ou ambas tendem a \pm\infty, e se f e g são diferenciáveis num intervalo que contém a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq 0 nesse intervalo, então, quando o limite
\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), vale
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Comentário didático rápido sobre derivadas: a derivada f'(x) mede a taxa instantânea de variação de f em relação a x. Para funções elementares como \cos x sabemos que \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x. Aqui usaremos essa regra básica.

Passo 3

Verificamos as hipóteses da regra de L’Hospital para a nossa expressão com f(x)=1-\cos x e g(x)=x, no ponto a=0 pela direita:
  • Primeiro, os limites das funções ao aproximar 0: \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}} (1-\cos x)=1-\cos 0 = 1-1 = 0,
\lim_{x\to 0^{+}} g(x)=\lim_{x\to 0^{+}} x = 0.
Logo estamos em uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}, que é um caso onde L’Hospital pode ser aplicado (se as demais hipóteses valem).
  • Segundo, diferenciabilidade e não anular a derivada do denominador: em qualquer intervalo aberto contendo 0 (por exemplo (0,\delta) para pequeno \delta>0) as funções 1-\cos x e x são diferenciáveis. A derivada de g(x)=x é g'(x)=1, que é diferente de zero para todo x. Portanto a hipótese g'(x)\neq 0 está satisfeita perto de 0 pela direita.
Assim, podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias:
  • Derivada do numerador:
    a derivada de 1 é 0 e a derivada de -\cos x é -(-\sin x)=\sin x. Portanto
    f'(x)=\sin x.
  • Derivada do denominador:
    g'(x)=1.
Aplicando L’Hospital temos (colocando a igualdade com as etapas):
\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{1}.
Agora usamos que \sin x é contínua em 0 e \sin 0=0, logo
\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \sin x = 0.
Portanto o limite buscado vale 0.

Passo 5

Resumo final e pequeno reforço: verificamos a indeterminação \frac{0}{0}, aplicamos L’Hospital porque as funções eram diferenciáveis e o denominador tinha derivada não nula perto de 0, calculamos as derivadas e reduzimos o limite a \lim_{x\to0^{+}}\sin x, que é 0. Isso prova o resultado pedido. Força aí: essa é uma aplicação direta e típica de L’Hospital — na prova, identifique logo a indeterminação e cheque as hipóteses antes de derivar.

Resposta

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