Usando as Regras de L’Hospital prove que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações dadas no enunciado: a expressão do numerador é
, o denominador é
, e a aproximação é pela direita em
(ou seja
). Não há outras condições explícitas no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar a Regra de L’Hospital (forma que usaremos): se temos duas funções
e
tais que
ou ambas tendem a
, e se
e
são diferenciáveis num intervalo que contém
(exceto possivelmente em
) e
nesse intervalo, então, quando o limite
existe (ou é
), vale
Comentário didático rápido sobre derivadas: a derivada
mede a taxa instantânea de variação de
em relação a
. Para funções elementares como
sabemos que
. Aqui usaremos essa regra básica.
Passo 3
Verificamos as hipóteses da regra de L’Hospital para a nossa expressão com
e
, no ponto
pela direita:
- Primeiro, os limites das funções ao aproximar
:
Logo estamos em uma indeterminação do tipo
, que é um caso onde L’Hospital pode ser aplicado (se as demais hipóteses valem).
- Segundo, diferenciabilidade e não anular a derivada do denominador: em qualquer intervalo aberto contendo
(por exemplo para pequeno ) as funções e são diferenciáveis. A derivada de é , que é diferente de zero para todo . Portanto a hipótese está satisfeita perto de pela direita.
Assim, podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 4
Calculamos as derivadas necessárias:
-
Derivada do numerador:
a derivada deé e a derivada de é . Portanto -
Derivada do denominador:
Aplicando L’Hospital temos (colocando a igualdade com as etapas):
Agora usamos que
é contínua em
e
, logo
Portanto o limite buscado vale
.
Passo 5
Resumo final e pequeno reforço: verificamos a indeterminação
, aplicamos L’Hospital porque as funções eram diferenciáveis e o denominador tinha derivada não nula perto de
, calculamos as derivadas e reduzimos o limite a
, que é
. Isso prova o resultado pedido. Força aí: essa é uma aplicação direta e típica de L’Hospital — na prova, identifique logo a indeterminação e cheque as hipóteses antes de derivar.