Usando as Regras de L’Hospital prove que:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{x}-1}{x}=\ln 2

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função no numerador é \,2^{x}-1.
  • O denominador é \,x.
  • Quando x\to 0 temos \,2^{x}\to 2^{0}=1, então o numerador tende a 0 e o denominador tende a 0. Logo a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Condição para usar a Regra de L’Hospital (versão para \tfrac{0}{0}): se f e g são funções diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto talvez em a) e
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,
e se existir o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
(então finito ou \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui temos f(x)=2^{x}-1 e g(x)=x. Ambas são diferenciáveis em torno de x=0 e já vimos que f(0)=0 e g(0)=0. Portanto podemos aplicar a Regra de L’Hospital, desde que calculemos f'(x) e g'(x).

Passo 3

Calcular as derivadas usadas na Regra de L’Hospital.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\,(x)=1.
Derivada do numerador: queremos \frac{d}{dx}\bigl(2^{x}-1\bigr).
  • Primeiro observe que \,2^{x}=e^{x\ln 2}. Isto é uma identidade básica: a^{x}=e^{x\ln a}.
  • Derivada de e^{u(x)} pela regra da cadeia é e^{u(x)}\cdot u'(x).
  • Aqui u(x)=x\ln 2, então u'(x)=\ln 2 (porque \ln 2 é constante).
  • Assim
\frac{d}{dx}\bigl(2^{x}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x\ln 2}\bigr)=e^{x\ln 2}\cdot \ln 2=2^{x}\ln 2.
  • E \frac{d}{dx}(-1)=0. Logo
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2^{x}-1\bigr)=2^{x}\ln 2.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}\ln 2}{1}.
Como \,2^{x} é contínua, ao avaliar no ponto x=0 obtemos
\lim_{x\to 0}2^{x}\ln 2 = 2^{0}\ln 2 = 1\cdot \ln 2 = \ln 2.

Passo 5

Interpretação rápida para guardar na prova: a expressão \frac{2^{x}-1}{x} é exatamente o quociente que aparece na definição de derivada de 2^{x} em 0. Assim o limite é a derivada de 2^{x} em 0, e como (2^{x})' = 2^{x}\ln 2, no ponto 0 vale \ln 2. Boa! Você já pode usar essa técnica para limites do tipo \lim_{x\to 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a.

Resposta

\ln 2

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