Usando as Regras de L’Hospital prove que:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A função no numerador é
. - O denominador é
. - Quando
temos , então o numerador tende a e o denominador tende a . Logo a expressão tem a forma indeterminada .
Passo 2
Condição para usar a Regra de L’Hospital (versão para
): se
e
são funções diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto talvez em
) e
e se existir o limite
(então finito ou
), então
Aqui temos
e
. Ambas são diferenciáveis em torno de
e já vimos que
e
. Portanto podemos aplicar a Regra de L’Hospital, desde que calculemos
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas usadas na Regra de L’Hospital.
Derivada do denominador:
Derivada do numerador: queremos
.
- Primeiro observe que
. Isto é uma identidade básica: . - Derivada de
pela regra da cadeia é . - Aqui
, então (porque é constante). - Assim
- E
. Logo
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hospital:
Como
é contínua, ao avaliar no ponto
obtemos
Passo 5
Interpretação rápida para guardar na prova: a expressão
é exatamente o quociente que aparece na definição de derivada de
em
. Assim o limite é a derivada de
em
, e como
, no ponto
vale
. Boa! Você já pode usar essa técnica para limites do tipo
.