Usando as Regras de L’Hospital prove que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações dadas e observações imediatas:
está definida apenas para
, por isso o limite é pela direita (
).
Quando temos
e
. Portanto a expressão
tem a forma do tipo
, uma forma indeterminada que precisa ser tratada.
Quando
Passo 2
Para usar a Regra de L’Hospital transformamos o produto em uma razão. Reescrevemos
Passo 3
Vamos verificar a forma da nova razão quando
.
Temos e
. Logo a razão
é da forma
, ou seja, indeterminada do tipo
. Nessas condições podemos aplicar a Regra de L’Hospital (desde que as derivadas existam nas proximidades do ponto considerado).
Temos
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador separadamente. Primeiro, a derivada do numerador:
pois a derivada de
é
. Em seguida, a derivada do denominador:
Passo 5
Segundo a Regra de L’Hospital, o limite da razão original é igual ao limite da razão das derivadas (quando este existir). Assim consideramos
Agora simplificamos a razão das derivadas:
Passo 6
Portanto o limite fica
Como a sequência de igualdades foi válida (transformação em razão, aplicação da Regra de L’Hospital e simplificação), concluímos que
Você conseguiu: apesar de
ir para
, ele é dominado pelo fator
que vai a zero — o produto tende a zero.