Usando as Regras de L’Hospital prove que:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x\rightarrow 0^{+}} x\ln x.
Informações dadas e observações imediatas:
\ln x está definida apenas para x>0, por isso o limite é pela direita ( x\to0^{+}).
Quando x\to0^{+} temos x\to0^{+} e \ln x\to -\infty. Portanto a expressão x\ln x tem a forma do tipo 0\cdot(-\infty), uma forma indeterminada que precisa ser tratada.

Passo 2

Para usar a Regra de L’Hospital transformamos o produto em uma razão. Reescrevemos
x\ln x = \frac{\ln x}{1/x}.

Passo 3

Vamos verificar a forma da nova razão quando x\to0^{+}.
Temos \ln x \to -\infty e 1/x \to +\infty. Logo a razão \dfrac{\ln x}{1/x} é da forma \dfrac{-\infty}{+\infty}, ou seja, indeterminada do tipo \infty/\infty. Nessas condições podemos aplicar a Regra de L’Hospital (desde que as derivadas existam nas proximidades do ponto considerado).

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador separadamente. Primeiro, a derivada do numerador:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},
pois a derivada de \ln x é 1/x. Em seguida, a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Segundo a Regra de L’Hospital, o limite da razão original é igual ao limite da razão das derivadas (quando este existir). Assim consideramos
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}.
Agora simplificamos a razão das derivadas:
\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{x^{2}}{1}\right)=-x.

Passo 6

Portanto o limite fica
\lim_{x\to 0^{+}}(-x)=0.
Como a sequência de igualdades foi válida (transformação em razão, aplicação da Regra de L’Hospital e simplificação), concluímos que
\lim_{x\rightarrow 0^{+}} x\ln x=0.
Você conseguiu: apesar de \ln x ir para -\infty, ele é dominado pelo fator x que vai a zero — o produto tende a zero.

Resposta

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