Usando as Regras de L’Hospital prove que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações dadas e observações iniciais:
- O numerador é
, definido para . - O denominador é
, definido para todo . - Quando
temos e . Portanto a expressão tem a forma indeterminada . - Os passos efetivos da resolução começam no Passo 2.
Passo 2
Apresento a regra que vamos usar (enunciada de forma didática):
Sejam e
funções diferenciáveis em um intervalo
(para algum
) e suponha que quando
tanto
quanto
tendem para
(ou ambos tendem a
). Se
para
suficientemente grande e o limite
Sejam
existe (pode ser um número finito ou
), então
Esse é o conteúdo essencial da Regra de L’Hospital. Intuição rápida: quando as funções crescem muito, a razão entre elas costuma ser dada pela razão entre as taxas instantâneas de crescimento (as derivadas).
Passo 3
Verifico as hipóteses para as funções do problema:
- Defino
e . - Ambas são diferenciáveis em
. - Como notei no Passo 1,
e . Logo estamos no caso . - A derivada
será , que é diferente de zero para todo . Então as hipóteses da Regra de L’Hospital estão satisfeitas e podemos aplicá‑la.
Passo 4
Calculo as derivadas (passo a passo, sem pular):
- A derivada de
é
Explicação: a regra básica diz que
para
.
- A derivada de
é
Explicação: usar a regra da cadeia: se
então
; aqui
e
, daí
.
Passo 5
Aplico a Regra de L’Hospital:
Simplificando a fração obtemos
Passo 6
Estudo o novo limite
.
- Para
temos . Multiplicar por (que também tende a ) dá um produto que vai para . Em símbolos:
- Então o recíproco tende a
:
Razoamento intuitivo: exponencial vence qualquer potência (aqui o fator
é apenas uma potência de ordem 1), então o denominador cresce tão rápido que sua recíproca vai a zero.
Passo 7
Concluo, usando os passos anteriores, que
Você pode pensar nisso assim:
cresce muito mais rápido que
, então a fração “é esmagada” pelo denominador e vai para zero. Boa: já temos a resposta e aplicamos a Regra de L’Hospital corretamente.