Usando as Regras de L’Hospital prove que:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{3 x}}{x^{2}}=+\infty

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{3x}}{x^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é e^{3x}.
  • O denominador é x^{2}.
  • Ao observar x\to+\infty temos e^{3x}\to+\infty e x^{2}\to+\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada \frac{+\infty}{+\infty}.
  • Ambas as funções (numerador e denominador) são diferenciáveis para todo x\in\mathbb{R}, então podemos tentar usar regras que exigem derivabilidade.

Passo 2

Enunciado da Regra de L’Hospital (versão que vamos usar), explicado de forma intuitiva:
Se f e g são funções diferenciáveis em algum intervalo (a,+\infty) e g'(x)\neq 0 para x>a, e se
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty
(então temos a forma \frac{+\infty}{+\infty}), então, sempre que o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (pode ser real finito ou +\infty ou -\infty), temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Explicação das condições: f'(x) e g'(x) são as derivadas de f e g; a regra transforma uma indeterminação \infty/\infty numa nova fração de derivadas que muitas vezes é mais simples. Podemos aplicar a regra repetidas vezes se o novo quociente continuar a dar uma forma indeterminada.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: tome
f(x)=e^{3x},\qquad g(x)=x^{2}.
Verificações:
  • f e g são diferenciáveis em (1,+\infty) (na verdade em \mathbb{R}), e g'(x)=2x que é diferente de zero para x>0. Então podemos trabalhar em (1,+\infty).
  • Como já notei, \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty e \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty, logo temos a forma \frac{+\infty}{+\infty}. Portanto as hipóteses da Regra de L’Hospital (para \infty/\infty) estão satisfeitas.

Passo 4

Calcule as derivadas (aqui explico rapidamente as regras usadas):
  • Regra do exponencial com cadeia: a derivada de e^{3x} é 3e^{3x} porque \frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)e^{u(x)} com u(x)=3x e u'(x)=3.
  • Regra da potência: a derivada de x^{2} é 2x.
Logo
f'(x)=3e^{3x},\qquad g'(x)=2x.
Pelo L’Hospital,
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{3x}}{x^{2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3e^{3x}}{2x}.
Examine a nova forma: para x\to+\infty temos 3e^{3x}\to+\infty e 2x\to+\infty, então ainda é \frac{+\infty}{+\infty}. Podemos aplicar L’Hospital novamente.

Passo 5

Aplicando L’Hospital pela segunda vez:
  • Derivada de 3e^{3x} é 9e^{3x} (aplicando a cadeia novamente: 3 é constante, derivada de e^{3x} é 3e^{3x}, então 3\cdot 3e^{3x}=9e^{3x}).
  • Derivada de 2x é 2.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{3e^{3x}}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{9e^{3x}}{2}.
Agora observe que \frac{9}{2} é constante positiva e e^{3x}\to+\infty quando x\to+\infty. Então o produto \frac{9}{2}e^{3x}\to+\infty. Assim
\lim_{x\to+\infty}\frac{9e^{3x}}{2}=+\infty.
Pelo encadeamento das igualdades dadas pela regra de L’Hospital, concluímos
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{3x}}{x^{2}}=+\infty.

Resposta

+\infty

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