Usando as Regras de L’Hospital prove que:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
Informações dadas e observações imediatas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Ao observar
temos e . Portanto a expressão tem a forma indeterminada . - Ambas as funções (numerador e denominador) são diferenciáveis para todo
, então podemos tentar usar regras que exigem derivabilidade.
Passo 2
Enunciado da Regra de L’Hospital (versão que vamos usar), explicado de forma intuitiva:
Se e
são funções diferenciáveis em algum intervalo
e
para
, e se
Se
(então temos a forma
), então, sempre que o limite
existe (pode ser real finito ou
ou
), temos
Explicação das condições:
e
são as derivadas de
e
; a regra transforma uma indeterminação
numa nova fração de derivadas que muitas vezes é mais simples. Podemos aplicar a regra repetidas vezes se o novo quociente continuar a dar uma forma indeterminada.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema: tome
Verificações:
-
e são diferenciáveis em (na verdade em ), e que é diferente de zero para . Então podemos trabalhar em . - Como já notei,
e , logo temos a forma . Portanto as hipóteses da Regra de L’Hospital (para ) estão satisfeitas.
Passo 4
Calcule as derivadas (aqui explico rapidamente as regras usadas):
- Regra do exponencial com cadeia: a derivada de
é porque com e . - Regra da potência: a derivada de
é .
Logo
Pelo L’Hospital,
Examine a nova forma: para
temos
e
, então ainda é
. Podemos aplicar L’Hospital novamente.
Passo 5
Aplicando L’Hospital pela segunda vez:
- Derivada de
é (aplicando a cadeia novamente: é constante, derivada de é , então ). - Derivada de
é .
Portanto
Agora observe que
é constante positiva e
quando
. Então o produto
. Assim
Pelo encadeamento das igualdades dadas pela regra de L’Hospital, concluímos