Utilizando as regras de L’Hospital, calcule.
\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{1}{\cos ^{2} x}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to\pi}\frac{1}{\cos^{2}x}.
Informações dadas:
  • A função considerada é x \mapsto \dfrac{1}{\cos^{2}x}.
  • O ponto de interesse é x=\pi.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Avaliar o comportamento da função no ponto x=\pi. Primeiro vemos o valor de \cos nesse ponto. Lembrando os valores da função cosseno no círculo unitário, temos
\cos\pi = -1.
Explicando rápido: no círculo unitário o ângulo \pi (180º) corresponde ao ponto (-1,0), então a coordenada x (que é o cosseno) vale -1.

Passo 3

Calcular o quadrado do cosseno em x=\pi. Como \cos\pi=-1, obtemos
\cos^{2}\pi = (-1)^{2} = 1.

Passo 4

Verificar se há alguma indeterminação que justificaria usar a regra de L’Hospital. A regra de L’Hospital só é aplicável quando o limite tem forma indeterminada \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}. Aqui, ao aproximarmos x de \pi, o numerador constante é 1 e o denominador tende a \cos^{2}\pi=1, um número finito e diferente de zero. Portanto a expressão não é indeterminada, e a regra de L’Hospital não se aplica.

Passo 5

Usar continuidade para concluir o limite. As funções \cos x, a função quadrado t\mapsto t^{2} e a função recíproca u\mapsto 1/u (quando u\neq0) são contínuas nos pontos considerados. A composição de funções contínuas é contínua. Logo podemos substituir o ponto diretamente:
\lim_{x\to\pi}\frac{1}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}\pi}=\frac{1}{1}=1.
Comentário amiga(o): mesmo que o enunciado peça L’Hospital, é importante checar as hipóteses — aqui não há indeterminação, então a forma correta e mais simples é usar continuidade e substituir.

Resposta

1

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