Utilizando as regras de L’Hospital, calcule.
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Avaliar o comportamento da função no ponto
. Primeiro vemos o valor de
nesse ponto. Lembrando os valores da função cosseno no círculo unitário, temos
Explicando rápido: no círculo unitário o ângulo
(180º) corresponde ao ponto
, então a coordenada
(que é o cosseno) vale
.
Passo 3
Calcular o quadrado do cosseno em
. Como
, obtemos
Passo 4
Verificar se há alguma indeterminação que justificaria usar a regra de L’Hospital. A regra de L’Hospital só é aplicável quando o limite tem forma indeterminada
ou
. Aqui, ao aproximarmos
de
, o numerador constante é
e o denominador tende a
, um número finito e diferente de zero. Portanto a expressão não é indeterminada, e a regra de L’Hospital não se aplica.
Passo 5
Usar continuidade para concluir o limite. As funções
, a função quadrado
e a função recíproca
(quando
) são contínuas nos pontos considerados. A composição de funções contínuas é contínua. Logo podemos substituir o ponto diretamente:
Comentário amiga(o): mesmo que o enunciado peça L’Hospital, é importante checar as hipóteses — aqui não há indeterminação, então a forma correta e mais simples é usar continuidade e substituir.
Resposta
1