Usando as regras do produto e do quociente, calcule as derivadas das funções.
f(x)=(1+raizx)(x-x^3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x) = (1 + raizx) (x - x^3) usando as regras de derivação de produto (e, na verdade, também a cadeia para a raiz). Vamos precisar da formulação da regra do produto e da derivada de x^1/2.

Passo 2

Definimos u(x) = 1 + raizx = 1 + x^1/2 e v(x) = x - x^3. Então aplicamos:
A regra do produto diz que f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x). Calculando cada derivada:
u'(x) = 12 x^-1/2, v'(x) = 1 - 3x^2

Passo 3

Substituindo em f'(x):
f'(x) = 12 x^-1/2 ,(x - x^3) + (1 + x^1/2),(1 - 3x^2)

Passo 4

Agora simplificamos termo a termo. Primeiro,
x - x^32raizx = raizx2 - x^5/22,
segundo,
(1 + raizx)(1 - 3x^2) = 1 - 3x^2 + raizx - 3x^5/2
Somando tudo, obtemos
f'(x) = 1 - 3x^2 + 32raizx - 72x^5/2

Resposta

f'(x) = 1 - 3x^2 + tfrac32raizx - tfrac72x^5/2

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