Usando as regras do produto e do quociente, calcule as derivadas das funções.
f(x)=2 log x(2 x^4-3 x)

Passo 1

Neste exercício a gente vai derivar a função usando regra do produto. O conteúdo envolve derivada de logaritmo natural e aplicação da regra do produto, que diz que se f(x)=u(x)v(x), então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 2

Vamos separar a função em duas partes:
u(x)=2log x, v(x)=2x^4-3x

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u(x). Como u(x)=2log x, temos
u'(x)=2cdot1x=2x

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada de v(x)=2x^4-3x:
v'(x)=8x^3-3

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
Substituindo:
f'(x)=2x(2x^4-3x)+2log x,(8x^3-3)

Passo 6

Basta agora simplificar o primeiro termo:
2x(2x^4)=4x^3, 2x(-3x)=-6
Logo
f'(x)=4x^3-6+2(8x^3-3)log x =4x^3-6+(16x^3-6)log x

Resposta

f'(x)=4x^3-6+(16x^3-6)log x

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