Usando a representação integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impróprias têm os valores especificados abaixo.
integral0^infty sen pi omega sen x omega1-omega^2 d omega=clpi2 sen x & se 0 <= x <= pi, 0 & se x>pi

Passo 1

Resumo do problema: queremos provar que a integral imprópria
integral0^infty sin(piomega)sin(xomega)1-omega^2,domega
vale tfracpi2sin x quando 0<= x<=pi e zero para x>pi. O conteúdo principal é a representação integral de Fourier no semieixo (expansão em senos). Para isso, vamos usar as fórmulas de inversão e de cálculo do coeficiente da transformada de Fourier por senos:
f(x)=integral0^inftyb(omega)sin(omega x),domega,
com
b(omega)=2piintegral0^inftyf(t)sin(omega t),dt

Passo 2

Definimos a função auxiliar
f(x)= sin x,&0<= x<=pi, 0,&x>pi
Ela é a responsável por gerar sin x no intervalo [0,pi] e zero depois, exatamente como o enunciado pede. Vamos aplicar a fórmula acima para essa f.

Passo 3

Agora calculamos o coeficiente
b(omega)=2piintegral0^pisin t,sin(omega t),dt
Usando a identidade
sin tsin(omega t)=tfrac12l(cos((1-omega)t)-cos((1+omega)t)r)
e integrando, obtemos
integral0^pisin tsin(omega t),dt=sin(omegapi)1-omega^2

Passo 4

Substituindo no coeficiente temos
b(omega)=2picdotsin(omegapi)1-omega^2
Então a representação de Fourier em senos fica
f(x)=integral0^inftyb(omega)sin(omega x),domega=2piintegral0^inftysin(piomega)sin(xomega)1-omega^2,domega
Dessa forma isolamos a integral desejada.

Passo 5

Como f(x)=\sin x para 0<= x<=pi e f(x)=0 para x>pi, concluímos que
integral0^inftysin(piomega)sin(xomega)1-omega^2,domega =pi2f(x)=tfracpi2sin x,&0<= x<=pi,0,&x>pi

Resposta

integral0^inftysin(piomega)sin(xomega)1-omega^2,domega=pi2sin x,&0<= x<=pi,0,&x>pi

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