Usando a representação integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impróprias têm os valores especificados abaixo.
Passo 1
Resumo do problema: queremos provar que a integral imprópria
vale
quando
e zero para
. O conteúdo principal é a representação integral de Fourier no semieixo (expansão em senos). Para isso, vamos usar as fórmulas de inversão e de cálculo do coeficiente da transformada de Fourier por senos:
com
Passo 2
Definimos a função auxiliar
f(x)=
Ela é a responsável por gerar no intervalo
e zero depois, exatamente como o enunciado pede. Vamos aplicar a fórmula acima para essa f.
f(x)=
Ela é a responsável por gerar
Passo 3
Agora calculamos o coeficiente
Usando a identidade
e integrando, obtemos
Passo 4
Substituindo no coeficiente temos
Então a representação de Fourier em senos fica
Dessa forma isolamos a integral desejada.
Passo 5
Como f(x)=\sin x para
e f(x)=0 para
, concluímos que