Estude a continuidade da seguinte função:
f(x)=x^2 sen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar a continuidade da função . Isso significa que vamos verificar se essa função não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico, ou seja, se ela está “ligada” em todos os pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua usando as propriedades das funções que a compõem.

Passo 2

Para começar, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função existe quando se aproxima de .
  3. O valor da função em é igual ao limite quando se aproxima de .
Se essas três condições forem verdadeiras para todo ponto no domínio da função, então a função é contínua em todo lugar.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa função é composta por duas partes:
  1. : uma função polinomial, que sabemos que é contínua em todo o seu domínio (todos os números reais).
  2. : a função seno, que também é contínua em todo o seu domínio (todos os números reais).
Quando multiplicamos duas funções contínuas, o resultado é também uma função contínua. Isso porque a multiplicação preserva a continuidade.

Passo 4

Vamos verificar ponto a ponto:
  1. Definição: está definida para todo real, já que tanto quanto estão definidas para todos os reais.
  2. Limite: Como ambas as funções e são contínuas, o limite de quando se aproxima de qualquer ponto será simplesmente .
  3. Valor da função: , que é igual ao limite calculado.
Portanto, as três condições para continuidade são atendidas para todo real.

Resposta

A função é contínua para todo valor de real.

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