Usando representações em séries de potências, já conhecidas, encontre uma série de potências ∑ an x^n representando cada uma das funções dadas e dê o intervalo no qual a convergência ocorre.
Sugestão: Observe que
1x^2-5 x+6=-1x-2+1x-3
cosm x, m in N

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, em torno de x=0, a série de potências
sumn=0^inftyanx^n
que representa cada uma das funções
f1(x)=1x^2-5x+6, f2(x)=cos(m x),
e determinar o intervalo (ou raio) de convergência de cada série. Vamos usar frações parciais e a série geométrica para f1, e a expansão conhecida de cos u para f2.

Passo 2

Para f1(x)=1/(x^2-5x+6) fazemos frações parciais. Como
x^2-5x+6=(x-2)(x-3),
temos
1x^2-5x+6 =-1x-2+1x-3

Passo 3

Agora expandimos cada termo como série geométrica em potências de x.
  1. Para 1x-2 escrevemos
1x-2 =-12,11-tfracx2 =-12sumn=0^inftyl(x2r)^n,
válido para l|tfracx2r|<1, isto é |x|<2.
  1. Para 1x-3 escrevemos
1x-3 =-13,11-tfracx3 =-13sumn=0^inftyl(x3r)^n,
válido para l|tfracx3r|<1, ou seja |x|<3.

Passo 4

Somando os dois resultados:
1x^2-5x+6 =-1x-2+1x-3 =sumn=0^inftyl(12^n+1-13^n+1r)x^n
Como precisamos que ambas séries geométricas converjam, o raio comum é R=2. Logo
an=12^n+1-13^n+1, convergindo para |x|<2

Passo 5

Para
válida para todo . Tomando obtemos
onde
í
Essa série converge para todo ).

Resposta

Para 1x^2-5x+6:
sumn=0^inftyl(12^n+1-13^n+1r)x^n, |x|<2
Para cos(m x):
sumk=0^infty(-1)^km^2k(2k)!,x^2k (coeficientes nulos para x^2k+1), |x|<infty

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