Verificação de conceitos
a. Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes.
b. Escreva a equação auxiliar.
c. Como você utilizaria as raízes da equação auxiliar para resolver a equação diferencial. Escreva a forma da solução para cada um dos casos que podem ocorrer.
d. O que é um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem?
e. O que é um problema de valor de contorno para tal equação?
f. Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
g. O que é equação complementar? Como ela auxilia na resolução da equação diferencial?
h. Discuta duas aplicações das equações diferenciais de segunda ordem.
[Stewart, J., Volume 2, Sétima edição, Revisão 17 (pg 1043)]

Passo 1

O enunciado pede para relembrar as formas gerais e conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, tanto homogêneas quanto não homogêneas, além de definir problema de valor inicial e de contorno, complementar e discutir aplicações. Vamos apontar a teoria necessária: forma geral da equação, equação característica, tipos de raízes e solução geral, definição de PVI e PVC, e papel da solução complementar.

Passo 2

Para a parte (a) e (b) precisamos da forma geral de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e de sua equação auxiliar. A técnica clássica é propor solução ,y=e^r x, e obter uma equação algébrica em r.

Passo 3

Para a parte (c) usamos as raízes da equação auxiliar para construir a solução geral em três casos distintos: raízes reais distintas, raízes reais repetidas e raízes complexas conjugadas. Cada caso dá uma forma diferente para y(x).

Passo 4

Para a parte (d) definimos o que é um problema de valor inicial: uma equação diferencial de segunda ordem acompanhada de condições sobre y e y' num mesmo ponto x0.

Passo 5

Para a parte (e) definimos o que é um problema de valor de contorno: uma equação diferencial de segunda ordem acompanhada de condições em dois pontos distintos x=a e x=b.

Passo 6

Para a parte (f) escrevemos a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes, que difere da homogênea pelo termo fonte f(x).

Passo 7

Para a parte (g) apresentamos o conceito de solução complementar (ou homogênea) e explicamos como ela combina com a solução particular para formar a solução geral da equação não homogênea.

Passo 8

Para a parte (h) escolhemos duas aplicações clássicas de equações de segunda ordem: vibrações mecânicas (massa-mola-amortecedor) e circuitos elétricos RLC, mostrando como a modelagem leva a esse tipo de equação.

Resposta

a. Forma geral homogênea:
a,y'' + b,y' + c,y = 0
b. Equação auxiliar (característica):
a,r^2 + b,r + c = 0
c. Solução geral em função das raízes r1,r2:
Caso 1 (reais e distintas):
y(x) = C1e^r1x + C2e^r2x
Caso 2 (reais e iguais r):
y(x) = (C1 + C2x),e^r x
Caso 3 (complexas conjugadas alpha pm ibeta):
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
d. Problema de valor inicial: consiste em
a,y'' + b,y' + c,y = g(x),
com
;y(x0)=y0 e y'(x0)=y0'.
e. Problema de valor de contorno: consiste em
a,y'' + b,y' + c,y = g(x),
com condições em dois pontos, por exemplo
;y(a)=A e y(b)=B.
f. Forma geral não homogênea:
a,y'' + b,y' + c,y = f(x),
com f(x) dado.
g. Equação complementar (solução homogênea): é a solução de
a,y'' + b,y' + c,y = 0,
denotada por yc(x). A solução geral da não homogênea é
y(x) = yc(x) + yp(x),
onde yp(x) é uma solução particular de a,y''+b,y'+c,y=f(x).
h. Duas aplicações:
  1. Vibrações mecânicas de massa-mola-amortecedor, onde m,y'' + c,y' + k,y = F(t).
  2. Circuitos elétricos RLC série ou paralelo, onde L,q'' + R,q' + 1C,q = V(t).

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