Verificação de conceitos
a. Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes.
b. Escreva a equação auxiliar.
c. Como você utilizaria as raízes da equação auxiliar para resolver a equação diferencial. Escreva a forma da solução para cada um dos casos que podem ocorrer.
d. O que é um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem?
e. O que é um problema de valor de contorno para tal equação?
f. Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
g. O que é equação complementar? Como ela auxilia na resolução da equação diferencial?
h. Discuta duas aplicações das equações diferenciais de segunda ordem.
[Stewart, J., Volume 2, Sétima edição, Revisão 17 (pg 1043)]
a. Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes.
b. Escreva a equação auxiliar.
c. Como você utilizaria as raízes da equação auxiliar para resolver a equação diferencial. Escreva a forma da solução para cada um dos casos que podem ocorrer.
d. O que é um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem?
e. O que é um problema de valor de contorno para tal equação?
f. Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
g. O que é equação complementar? Como ela auxilia na resolução da equação diferencial?
h. Discuta duas aplicações das equações diferenciais de segunda ordem.
[Stewart, J., Volume 2, Sétima edição, Revisão 17 (pg 1043)]
Passo 1
O enunciado pede para relembrar as formas gerais e conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, tanto homogêneas quanto não homogêneas, além de definir problema de valor inicial e de contorno, complementar e discutir aplicações. Vamos apontar a teoria necessária: forma geral da equação, equação característica, tipos de raízes e solução geral, definição de PVI e PVC, e papel da solução complementar.
Passo 2
Para a parte (a) e (b) precisamos da forma geral de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e de sua equação auxiliar. A técnica clássica é propor solução
e obter uma equação algébrica em
.
Passo 3
Para a parte (c) usamos as raízes da equação auxiliar para construir a solução geral em três casos distintos: raízes reais distintas, raízes reais repetidas e raízes complexas conjugadas. Cada caso dá uma forma diferente para
.
Passo 4
Para a parte (d) definimos o que é um problema de valor inicial: uma equação diferencial de segunda ordem acompanhada de condições sobre
e
num mesmo ponto
.
Passo 5
Para a parte (e) definimos o que é um problema de valor de contorno: uma equação diferencial de segunda ordem acompanhada de condições em dois pontos distintos
e
.
Passo 6
Para a parte (f) escrevemos a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes, que difere da homogênea pelo termo fonte
.
Passo 7
Para a parte (g) apresentamos o conceito de solução complementar (ou homogênea) e explicamos como ela combina com a solução particular para formar a solução geral da equação não homogênea.
Passo 8
Para a parte (h) escolhemos duas aplicações clássicas de equações de segunda ordem: vibrações mecânicas (massa-mola-amortecedor) e circuitos elétricos RLC, mostrando como a modelagem leva a esse tipo de equação.
Resposta
a. Forma geral homogênea:
b. Equação auxiliar (característica):
c. Solução geral em função das raízes
:
Caso 1 (reais e distintas):
Caso 1 (reais e distintas):
Caso 2 (reais e iguais
):
Caso 3 (complexas conjugadas
):
d. Problema de valor inicial: consiste em
com
e
.
e. Problema de valor de contorno: consiste em
com condições em dois pontos, por exemplo
e
.
f. Forma geral não homogênea:
com
dado.
g. Equação complementar (solução homogênea): é a solução de
denotada por
. A solução geral da não homogênea é
onde
é uma solução particular de
.
h. Duas aplicações:
- Vibrações mecânicas de massa-mola-amortecedor, onde
. - Circuitos elétricos RLC série ou paralelo, onde
.