Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
.
, sendo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto é diferenciável em
. Para isso, precisamos primeiro checar a continuidade em
e depois comparar as derivadas laterais.
Passo 2
Verificamos a continuidade em
. Calculamos os limites laterais e comparamos com
:
,
,
e .
Como ambos os limites laterais coincidem com ,
é contínua em
.
e
Como ambos os limites laterais coincidem com
Passo 3
Calculamos a derivada lateral pela esquerda em
usando a definição
Passo 4
Calculamos a derivada lateral pela direita em
:
Passo 5
Como
e
são diferentes, a derivada não existe em
. Logo,
não é diferenciável em
.
Resposta
A função não é diferenciável em
.