Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P.
f(x)=lx^2, se x <= 0 x, se x>0, sendo P=(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
e o ponto é diferenciável em . Para isso, precisamos primeiro checar a continuidade em e depois comparar as derivadas laterais.

Passo 2

Verificamos a continuidade em 0. Calculamos os limites laterais e comparamos com f(0):
limxto0^-f(x)=limxto0^-x^2=0,
limxto0^+f(x)=limxto0^+x=0,
e f(0)=0^2=0.
Como ambos os limites laterais coincidem com f(0), f é contínua em 0.

Passo 3

Calculamos a derivada lateral pela esquerda em 0 usando a definição
f'-(0)=limhto0^-f(0+h)-f(0)h =limhto0^-h^2-0h =limhto0^-h =0

Passo 4

Calculamos a derivada lateral pela direita em 0:
f'+(0)=limhto0^+f(0+h)-f(0)h =limhto0^+h-0h =limhto0^+1 =1

Passo 5

Como f'-(0)=0 e f'+(0)=1 são diferentes, a derivada não existe em 0. Logo, f não é diferenciável em P.

Resposta

A função não é diferenciável em P=(0,0).

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