Usando representações em séries de potências, já conhecidas, encontre uma série de potências ∑ an x^n representando cada uma das funções dadas e dê o intervalo no qual a convergência ocorre.
Sugestão: Observe que
1x^2-5 x+6=-1x-2+1x-3
1x^2-5 x+6

Passo 1

O problema pede a expansão em série de potências centrada em zero da função
1x^2-5x+6
e o intervalo (ou raio) de convergência dessa série. Vamos usar frações parciais e depois as séries geométricas conhecidas.

Passo 2

Fazendo frações parciais, observa-se que
1x^2-5x+6 =1(x-2)(x-3) =-1x-2+1x-3

Passo 3

Agora expandimos cada termo como série geométrica em torno de x=0:
Para -tfrac1x-2:
-1x-2 =12-x =12,11-x2 =12sumn=0^inftyl(x2r)^n =sumn=0^infty12^n+1,x^n,
válida para l|xr|<2.
Para tfrac1x-3:
1x-3 =-13-x =-13,11-x3 =-13sumn=0^inftyl(x3r)^n =-sumn=0^infty13^n+1,x^n,
válida para l|xr|<3.

Passo 4

Somando as duas séries obtemos a expansão de tfrac1x^2-5x+6 em potências de x:
1x^2-5x+6 =sumn=0^inftyl(12^n+1-13^n+1r),x^n
O raio de convergência é o mínimo dos dois raios anteriores, ou seja l|xr|<2.

Resposta

sumn=0^inftyl(12^n+1-13^n+1r),x^n, conver>= para l|xr|<2

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